双曲线的标准方程和图象
共1421题

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双曲线的标准方程和图象
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题型：简答题

简答题

已知双曲线C的方程为：-=1

（1）求双曲线C的离心率；

（2）求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点A（-3，2）的双曲线的方程．

正确答案

（1）由题意知a2=9，b2=16，

所以c2=a2+b2=25，

则a=3，c=5，

所以该双曲线的离心率e==．

（2）根据题意，则可设双曲线的标准方程为 -=λ，（λ≠0）；

又因为双曲线经过点A（-3，2）

代入方程可得，λ=；

故这条双曲线的方程为 -=1．

题型：简答题

简答题

已知F是双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）右焦点，若F到双曲线C的渐近线的距离是1，且双曲线C的离心率e=．

（1）求双曲线C的方程；

（2）过点A（0，1）的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q，且P在A、Q之间，若=，求直线l的方程．

正确答案

（1）由对称性，不妨设一渐近线为y=x，右焦点为F（c，0），

则=1，即b=1又e==

∴解得a2=2，所以双曲线C的方程是-y2=1；

（2）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），

由得：（1-2k2）x2-4kx-4=0，

∵l与双曲线C的右支交于不同的两点P、Q，

∴

∴＜k2＜1且k＜0①

又∵=，∴(x1，y1-1)=(x2，y2-1)x2=2x1

∴3x1=，3x1=

∴9x1x2==9×，k=±满足①式．

∴直线l的方程为y=x+1或y=-x+1

题型：简答题

简答题

已知双曲线经过点A（1，），且a=4，求双曲线的标准方程．

正确答案

若设所求双曲线方程为-

=1（a＞0，b＞0），

则将a=4代入，得-=1．

又∵点A（1，）在双曲线上，

∴-=1．由此得b2＜0，

∴不合题意，舍去．

若设所求双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0），

则将a=4代入得-=1，代入点A（1，），得b2=9，

∴双曲线的标准方程为-=1．

题型：简答题

简答题

如果双曲线的两个焦点分别为F1（-3，0），F2（3，0），一条渐近线方程为：y=x

（1）求该双曲线的方程；

（2）过焦点F2，倾斜角为的直线与该双曲线交于A，B两点，求|AB|．

正确答案

（1）依题意：设该双曲线的方程为：-=1

则：，⇒∴-=1为所求．

(2)由题意知直线AB的方程为y=(x-3)

设A（x1，y1），B（x2，y2）

由得x2-18x+33=0

∴x1+x2=18，x1x2=33

∴|AB|=

==16

题型：简答题

简答题

已知双曲线-=1，

（1）F1，F2是左右两焦点，过右焦点与x轴垂直的直线与双曲线交于点M(，1)，求双曲线方程．

（2）若y=kx+1与（1）中双曲线左支交于A，B，有一直线l过AB中点和L（-2，0），求l在y轴上截距取值范围．

正确答案

（1）∵过右焦点与x轴垂直的直线与双曲线交于点M(，1)，

∴c=，

设所求的双曲线为-=1，

把点M(，1)代入，得a2=1，

∴双曲线方程x2-y2=1．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）AB中点（x0，y0）

(2)，（1-k2）x2-2kx-2=0，

x0=，y0=，

∵x1+x2＜0，x1•x2＞0，

△＞0，k∈(1，)，l，y=(x+2)(2′)（2′）

l，y=(x+2)，x=0，y==，

∵k∈(1，)，∴y∈(-∞，-2-)∪(2，+∞)（5′）

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