热门试卷

设双曲线的方程为-=1．

依题意知，点P，Q的坐标满足方程组

整理得（5b2-3a2）x2+6a2cx-（3a2c2+5a2b2）=0 ①．

若5b2-3a2=0，则=，即直线与双曲线的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b2-3a2≠0．

设方程①的两个根为x1，x2，则有

x1+x2=②，x1x2=-③，

由于P、Q在直线y=（x-c）上，可记为

P（x1，（x1-c）），Q（x2，（x2-c））．

由OP⊥OQ得•=-1，

整理得3c（x1+x2）-8x1x2-3c2=0  ④．

将②，③式及c2=a2+b2代入④式，并整理得

3a4+8a2b2-3b4=0，即（a2+3b2）（3a2-b2）=0．

因为a2+3b2≠0，解得b2=3a2，

所以c==2a．

由|PQ|=4，得（x2-x1）2+[（x2-c）-（x1-c）]2=42．

整理得（x1+x2）2-4x1x2-10=0  ⑤．

将②，③式及b2=3a2，c=2a代入⑤式，解得a2=1．

将a2=1代入b2=3a2得b2=3．

故所求双曲线方程为x2-=1．

（1）由题意知，c=，=，再由c2=a2+b2，a=，b=1，∴双曲线方程为：-y2=1．

（2）直线l的方程y-0=k（x+3），即 kx-y+3k=0．∵过原点的直线a∥l，∴直线a方程为：kx-y=0，

两平行线间的距离=，∴k=±．

（3）证明：设过原点且平行于l的直线b：kx-y=0，

则直线l与b的距离d=，当k＞时，d＞． 又双曲线C的渐近线为x±y=0，

∴双曲线C的右支在直线b的右下方，∴双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于，

故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为．

（1）由抛物线y2=4x得焦点（1，0），得双曲线的c=1．

又e==，a2+b2=c2，

解得a2=，b2=．

∴双曲线的方程为5x2-y2=1．

（2）直线l的方程为x+y-1=0．

由（1）可得双曲线的渐近线方程为y=±2x．

由已知可设圆c1：（x-t）2+（y-2t）2=r2，圆c2：（x-n）2+（y+2n）2=r2，其中t＞0，n＜0．

因为直线l与圆c1，c2都相切，所以=，

得直线l与t+2t-1=n-2n-1，或t+2t-1=-n+2n+1，即n=-3t，或n=3t-2，

设两圆c1，c2圆心连线斜率为k，则k=，当n=-3t时，k==-1；

当n=3t-2时，k==，

∵t＞0，n＜0，∴0＜t＜，故可得-2＜k＜2，

综上：两圆c1，c2圆心连线斜率的范围为（-2，2）．

（本小题满分13分）

（1）由椭圆+=1⇒c=5．…．（2分）

设双曲线方程为-=1，则⇒

故所求双曲线方程为-=1…．（9分）

（2）双曲线的实轴长2a=6．虚轴长2b=8．焦点坐标（-5，0），（5，0）离心率e=5/3…．（13分）