双曲线的标准方程和图象
共1421题

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题型：单选题

单选题

设双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，过F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足是P，直线l与双曲线C的一个交点Q，若=，则双曲线C的离心率是（　　）

正确答案

解析

解：双曲线C的一条渐近线方程为bx-ay=0，过F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，方程为y=-（x-c），

联立可得P（，），

∵=，

∴Q（2c-，-），

代入-=1，可得，

化简可得4c2=5a2，

∴e==．

故选：B．

题型：单选题

单选题

已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（　　）

C1+

D1+

正确答案

解析

解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F

∴两条曲线交点为（，p），

代入双曲线方程得，

又=c

代入化简得 c4-6a2c2+a4=0

∴e4-6e2+1=0

∴e2=3+2=（1+）2

∴e=+1

故选：C．

题型：简答题

简答题

已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，求该双曲线的方程．

正确答案

解：依题意知，双曲线的焦点在x轴，|F1F2|=2c=2，

由双曲线的定义得：||PF1|-|PF2||=2a，

∴-2|PF1|•|PF2|+=4a2，①

∵PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，

∴+==20，代入①式

∴a2=4，又c=，

∴b2=c2-a2=1，

∴该双曲线的方程为：-y2=1．

解析

解：依题意知，双曲线的焦点在x轴，|F1F2|=2c=2，

由双曲线的定义得：||PF1|-|PF2||=2a，

∴-2|PF1|•|PF2|+=4a2，①

∵PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，

∴+==20，代入①式

∴a2=4，又c=，

∴b2=c2-a2=1，

∴该双曲线的方程为：-y2=1．

题型：简答题

简答题

如图，双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆O与双曲线交于A、B、C、D四点，若AB交y轴于点H，圆O与y轴正半轴相交于点P，且=（3+2）．

（1）若双曲线的焦距为2，求双曲线的方程；

（2）求双曲线的离心率．

正确答案

解：（1）由|F1F2|=2得圆O的半径为1，故P（0，1），设H（0，m）．

∵=（3+2）=（3+2）（0，1-m），

∴m=（3+2）（1-m），解得m=，

故A（x，），由|OA|=1得x=，

∴A（，）．

∵点A（，）在双曲线上，

∴-=1，

又∵焦距为2，

∴a2+b2=1，解得a2=1-，b2=，

故双曲线的方程为-=1．

（2）设焦距为2c，则P（0，c），设H（0，n）．

∵=（3+2）=（3+2）（0，c-n），

∴n=（3+2）（c-n），解得n=c，

即H（0，c）．

由A（x0，c）在圆上得x0=c，

∴A（c，c），

∴将A（c，c）代入双曲线方程得-=1，

又∵a2+b2=c2，化简得3a4+6a2b2-b4=0，

即（）4-6（）2-3=0，

∴（）2=3+2，

∴e2==1+=4+2，

故双曲线的离心率为e=+1．

解析

解：（1）由|F1F2|=2得圆O的半径为1，故P（0，1），设H（0，m）．

∵=（3+2）=（3+2）（0，1-m），

∴m=（3+2）（1-m），解得m=，

故A（x，），由|OA|=1得x=，

∴A（，）．

∵点A（，）在双曲线上，

∴-=1，

又∵焦距为2，

∴a2+b2=1，解得a2=1-，b2=，

故双曲线的方程为-=1．

（2）设焦距为2c，则P（0，c），设H（0，n）．

∵=（3+2）=（3+2）（0，c-n），

∴n=（3+2）（c-n），解得n=c，

即H（0，c）．

由A（x0，c）在圆上得x0=c，

∴A（c，c），

∴将A（c，c）代入双曲线方程得-=1，

又∵a2+b2=c2，化简得3a4+6a2b2-b4=0，

即（）4-6（）2-3=0，

∴（）2=3+2，

∴e2==1+=4+2，

故双曲线的离心率为e=+1．

题型：单选题

单选题

设双曲线-=1（a＞0，b＞0）的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列

∴（2b）2=（2a）•（2c）

∴b2=ac

又∵b2=c2-a2

∴c2-a2=ac

∴e2-e-1=0

∴e=

又在双曲线中e＞1

∴e=

故选B

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