双曲线的标准方程和图象
共1421题

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双曲线的标准方程和图象
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题型：简答题

简答题

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过原点，且两条渐近线与以点A(0，)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线C的一个焦点与点A关于直线y=x对称．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）和线段AB的中点，求直线l在y轴上截距b的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，

又该直线与圆x2+(y-)2=1相切

所以 1=⇒k=±1

可设双曲线C的方程为-=1

又双曲线C的一个焦点为（，0），

所以2a2=2⇒a2=1

所求双曲线C的方程为 x2-y2=1

（Ⅱ）由得(1-m2)x2-2mx-2=0依题意

⇒1＜m＜

线段AB的中点为(，)，直线l的方程y=(x+2)令x=0，得b==因为m∈(1，)，所以-2(m-)2+∈(-2+，1)

所以直线l在y轴上截距b∈(-∞，-2-)∪(2，+∞)．

题型：简答题

简答题

求经过点A（3，-1），并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程．

正确答案

当焦点在x轴时，设双曲线的标准方程为-=1，

把A（3，-1）代入方程得-=1，a2=8，

∴双曲线的标准方程为-=1．（4分）

当焦点在y轴时，设双曲线的标准方程为-=1，

把A（3，-1）代入方程得-=1，a2=-8，这种情况不存在．（6分）

题型：简答题

简答题

已知圆A的圆心为（，0），半径为1，双曲线C的两条渐近线都过原点，且与圆A相切，双曲线C的一个顶点A′与点A关于直线y=x对称．

（1）求双曲线C的方程；

（2）设直线l过点A，斜率为k，当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为，试求k的值及此时点B的坐标．

正确答案

（1）设双曲线的渐近线为y=kx，则=1，解得k=±1．即渐近线为y=±x．

又点A关于y=x的对称点A'的坐标为（0，），

所以，a=b=，双曲线的方程为-=1．

（2）直线l：y=k（x-），（0＜k＜1）．

依题意设B点在与l平行的直线l'上，且l与l'间的距离为，设直线l'：y=kx+m，则=，即m2+2km=2①

把l'代入双曲线方程得：（k2-1）x2+2mkx+m2-2=0

∵0＜k＜1，∴k2-1≠0．∴△=4（m2+2k2-2）=0，即m2+2k2=2②

解①②，得m=，k=．

此时，x=2，y=，所以B（2，）．

题型：简答题

简答题

已知双曲线C：-=1(a＞0，b＞0)的离心率为，右准线方程为x=．

（1）求双曲线C的方程；

（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B，与y轴交于点M，且=，求实数m的值．

正确答案

（1）由题意，得

解得a=1，c=…（3分）

∴b2=c2-a2=2．∴所求双曲线C的方程为x2-=1．…（5分）

（2）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）

由

得x2-2mx-m2-2=0（其中判别式△＞0）

∴x1+x2=2m，①x1x2=-m2-2．②…（8分）

设M（0，y0），则=(-x1，y0-y1)，=(x2，y2-y0)．

由=，得-x1=x2．③

由①②③，解得m=±1．…（12分）

所以，m=±1．…（13分）

题型：简答题

简答题

己知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．

（1）求双曲线的方程；

（2）求过双曲线左焦点F1，倾斜角为的直线被双曲线所截得的弦长．

正确答案

（1）由题设，得，解得a2=3，b2=1

∴双曲线的方程为-y2=1．…3分

（2）由（1）知过F1的直线方程是y=x+2，与-y2=1联立消去y，得2x2+12x+15=0．

∴x1+x2=-6，x1x2=．

∴弦长=•=2．…12分．

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