双曲线的标准方程和图象
共1421题

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双曲线的标准方程和图象
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题型：简答题

简答题

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长为2．

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线l：y=kx+与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；

（3）在（2）的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M（0，b），求b的取值范围．

正确答案

（1）设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0）．

由已知得：a=，c=2，再由a2+b2=c2，∴b2=1，

∴双曲线方程为-y2=1．

（2）设A（xA，yA），B（xB，yB），

将y=kx+代入-y2=1，

得（1-3k2）x2-6kx-9=0．

由题意知解得＜k＜1．

∴当＜k＜1时，l与双曲线左支有两个交点．

（3）由（2）得：xA+xB=，

∴yA+yB=（kxA+）+（kxB+）

=k（xA+xB）+2=，

∴AB的中点P的坐标为（，）．

设直线l0的方程为：y=-x+b，

将P点坐标代入直线l0的方程，得b=．

∵＜k＜1，∴-2＜1-3k2＜0，

∴b＜-2．

∴b的取值范围为（-∞，-2）．

题型：简答题

简答题

已知双曲线过点P(-3，4)，它的渐近线方程为y=±x

（1）求双曲线的标准方程；

（2）设F1和F2是这双曲线的左、右焦点，点P在这双曲线上，且|PF1|•|PF2|=32，求∠F1PF2的大小．

正确答案

（1）根据题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，

可设双曲线的方程为-=λ，λ≠0；

双曲线过点P(-3，4)，将P的坐标代入可得λ=1；

则所求的双曲线方程为-=1

（2）设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1•d2=32，

又由双曲线的几何性质知|d1-d2|=2a=6，

∴d12+d22-2d1d2=36即有d12+d22=36+2d1d2=100，

又|F1F2|=2c=10，

∴|F1F2|2=100=d12+d22=|PF1|2+|PF2|2

△PF1F2是直角三角形，

∠F1PF2=90°．

题型：简答题

简答题

如图，F为双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点．P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点．已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=λ|OF|．

（Ⅰ）写出双曲线C的离心率e与λ的关系式；

（Ⅱ）当λ=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若|AB|=12，求此时的双曲线方程．

正确答案

（Ⅰ）∵四边形OFPM是平行四边形，

∴|OF|=|PM|=c，作双曲线的右准线交PM于H，则|PM|=|PH|+2×，

又e=====，e2-λe-2=0．

（Ⅱ）当λ=1时，e=2，|PF|=|OF|．

∴c=2a，b2=3a2，双曲线为-=1且平行四边形OFPM是菱形，

由图象，作PD⊥X轴于D，则直线OP的斜率为==，则直线AB的方程为y=（x-2a），代入到双曲线方程得：

4x2+20ax-29a2=0，又|AB|=12，

由|AB|=，

得：12=，

解得a=1，

则b2=3，

所以x2-=1为所求．

题型：填空题

填空题

动点p（x，y）的轨迹方程为-=4，则判断该轨迹的形状后，可将其方程化简为对应标准方程______．

正确答案

设A（-3，0），B（3，0）

由于动点P（x，y）的轨迹方程为-=4，

则|PB|-|PA|=4，故点P到定点B（3，0）与到定点A（-3，0）的距离差为4，

则动点P（x，y）的轨迹是以（±3，0）为焦距，以4为实轴长的双曲线的左支，

由于2a=4，c=3，则b2=c2-a2=5，

故P的轨迹的标准方程为：-=1（x≤-2）．

故答案为：-=1（x≤-2）．

题型：简答题

简答题

已知双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0，并经过点（2，2），求此双曲线的标准方程．

正确答案

∵双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0，

∴设双曲线方程为：x2-4y2=λ（λ≠0），

∵双曲线经过点（2，2），

∴λ=22-4×22=-12，

故双曲线方程为：-=1．

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