- 双曲线的标准方程和图象
- 共1421题
已知双曲线C的方程为2x2-y2=2
（1）求双曲线C的离心率；
（2）求双曲线C的右顶点A到双曲线C的渐近线的距离．
正确答案
解：（1）将双曲线C的方程2x2-y2=2化为标准方程，得
于是
因此双曲线C的离心率
（2）双曲线C的右顶点坐标为A（1，0）； …（8分）
双曲线C的渐近线方程是：
易知，点A（1，0）到两条渐近线
则
所以，双曲线C的右顶点A到双曲线C渐近线的距离为
解析
解：（1）将双曲线C的方程2x2-y2=2化为标准方程，得
于是
因此双曲线C的离心率
（2）双曲线C的右顶点坐标为A（1，0）； …（8分）
双曲线C的渐近线方程是：
易知，点A（1，0）到两条渐近线
则
所以，双曲线C的右顶点A到双曲线C渐近线的距离为
（2015秋•大连校级期中）已知F1，F2是双曲线
A
B
C
D
正确答案
解析
解：x=-c时，代入双曲线方程，可得y=±
∵以点F1为直角顶点作等腰直角三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，
∴
∴e2-e-1=0，
∵e＞1，
∴e=
故选：A．
（2015秋•银川校级月考）已知有相同的两焦点F1，F2的椭圆
A1
B
C0
D随m，n的变化而变化
正确答案
解析
由双曲线和椭圆的定义可得
解得s2+t2=2m+2n，st=m-n．
在△PF1F2中，cos∠F1PF2=
∵m-1=n+1，
∴m-n=2，
∴cos∠F1PF2=0，∴∠F1PF2=90°．
∴
故选：C．
已知F1，F2分别是双曲线
正确答案
解析
解：设F1F2=2c，由题意知△F1F2P是直角三角形，
∴F1P2+F2P2=F1F22，
又根据曲线的定义得：
F1P-F2P=2a，
平方得：F1P2+F2P2-2F1P×F2P=4a2，
从而得出F1F22-2F1P×F2P=4a2，
∴F1P×F2P=2（c2-a2），
又△PF1F2的面积等于a2，
即 
c2-a2=a2，
e=
∴双曲线的离心率
故答案为：
（2015秋•株洲校级期中）已知双曲线过点（3，-2）且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点M在双曲线上，F1、F2为左、右焦点．且|MF1|+|MF2|=6
正确答案
解：（1）椭圆4x2+9y2=36可化为
设双曲线的方程为
代入点（3，-2），可得
∴双曲线的标准方程为
（2）不妨设M在双曲线的右支上，则|MF1|-|MF2|=2
∵|MF1|+|MF2|=6
∴|MF1|=4
∵|F1F2|=2
∴由余弦定理可得cos∠MF2F1=
∴△MF1F2是钝角三角形．
解析
解：（1）椭圆4x2+9y2=36可化为
设双曲线的方程为
代入点（3，-2），可得
∴双曲线的标准方程为
（2）不妨设M在双曲线的右支上，则|MF1|-|MF2|=2
∵|MF1|+|MF2|=6
∴|MF1|=4
∵|F1F2|=2
∴由余弦定理可得cos∠MF2F1=
∴△MF1F2是钝角三角形．
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