双曲线的标准方程和图象
共1421题

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双曲线的标准方程和图象
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题型：单选题

单选题

（2015秋•嘉峪关校级期末）已知斜率为1的直线l与双曲线-=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，且AB的中点为M（1，3），则双曲线的渐近线方程为（　　）

Ay=±3x

By=±x

Cy=±

Dy=±x

正确答案

解析

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，

两式相减可得：-=0，

∵斜率为1的直线l与双曲线-=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，A、B的中点为M（1，3），

∴k•kOM==3，

∴y=x=±x．

故选：B．

题型：填空题

填空题

（2015春•扬州校级月考）抛物线y2=-12x的准线与双曲线-=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于______．

正确答案

解析

解：∵抛物线方程为y2=-12x，

∴抛物线的焦点为F（-3，0），准线为x=3．

又∵双曲线-=1的渐近线方程为y=±x．

∵直线x=3与直线y=±x相交于点M（3，），N（3，-），

∴三条直线围成的三角形为△MON，以MN为底边、O到MN的距离为高，

可得其面积为S=×|MN|×3=×[-（-）]×3=3．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点为（0，2），离心率为

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线l：y=kx-与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且•＞-2（其中O为原点），求k的取值范围．

正确答案

解：（1）设双曲线方程为，

由已知得c=2，=

∴a=，b2=c2-a2=．

∴双曲线C的方程为；

（2）直线l：y=kx-与双曲线联立可得（6-3k2）x2+6kx-14=0，

由直线l与双曲线交于不同的两点得k2≠2，且k2＜①

x1+x2=-，x1x2=-，

由•＞-2，得x1x2+y1y2＞-2，

而x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2-k（x1+x2）+2=

于是＞-2，

∴＜k2＜2，②

由①②得＜k2＜2，∴k∈（-，-）∪（，）．

解析

解：（1）设双曲线方程为，

由已知得c=2，=

∴a=，b2=c2-a2=．

∴双曲线C的方程为；

（2）直线l：y=kx-与双曲线联立可得（6-3k2）x2+6kx-14=0，

由直线l与双曲线交于不同的两点得k2≠2，且k2＜①

x1+x2=-，x1x2=-，

由•＞-2，得x1x2+y1y2＞-2，

而x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2-k（x1+x2）+2=

于是＞-2，

∴＜k2＜2，②

由①②得＜k2＜2，∴k∈（-，-）∪（，）．

题型：填空题

填空题

焦点在x轴上的双曲线ax2-by2=1的离心率为，则=______．

正确答案

解析

解：双曲线ax2-by2=1化为标准方程为，从而，

故答案为4．

题型：填空题

填空题

已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是______．

正确答案

（，1）

解析

解：如图，设双曲线的半实轴长，半焦距分别为a2，c，

∵△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，

∴|PF1|=|F1F2|=10，即c=5，

|PF2|=10-2a2，

又由双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．

故∈（1，2）．

∴a2∈（，5），

设椭圆的半实轴长为a1，

则|PF1|+|PF2|=2a1=20-2a2，

即a1=10-a2∈（5，）

故e=∈（，1）

故答案为：（，1）

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