双曲线的标准方程和图象
共1421题

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双曲线的标准方程和图象
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题型：单选题

单选题

与椭圆+=1有公共焦点，且离心率e=的双曲线的坐标方程为（　　）

A-=1

B-=1

C-=1

D-=1

正确答案

解析

解：椭圆+=1的焦点为（0，±5），

则双曲线的c=5，可设双曲线的方程为-=1（a＞0，b＞0），

则a2+b2=25，

离心率e=，即为=，即有a=4，b=3．

即有双曲线的方程为-=1．

故选：D．

题型：填空题

填空题

（2015•上虞市二模）双曲线x2-y2=2的实轴长为______，离心率为______，渐近线方程为______．

正确答案

y=±x

解析

解：双曲线x2-y2=2中a=b=，c=2，

∴实轴长为2a=2；离心率为=，渐近线方程为y=±x．

故答案为：2；；y=±x．

题型：单选题

单选题

过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的上顶点 A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B、C，若=2，则双曲线的离心率是（　　）

正确答案

解析

解：双曲线-=1（a＞0，b＞0）的上顶点A为（0，a），

直线AB：y=x+a，

由直线y=x+a与双曲线的渐近线方程y=x，

可得交点C（，），

由直线y=x+a与双曲线的渐近线方程y=-x，

可得交点B（-，）．

由=2，可得

（，）=2（，），

即有=-，

即2b-2a=-a-b，

即a=3b，

则c===a，

则e==．

故选：D．

题型：单选题

单选题

若双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x-2）2+y2=1相离，则其离心率e的取值范围是（　　）

Ae＞1

Be＞

Ce＞

De＞

正确答案

解析

解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x-2）2+y2=1相离，

∴圆心到渐近线的距离大于半径，即＞1

∴3b2＞a2，

∴c2=a2+b2＞a2，

∴e=＞．

故选：C．

题型：填空题

填空题

双曲线=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D，则该双曲线的离心率e=______．

正确答案

解析

解：∵双曲线的虚轴两端点为B1、B2，两焦点为F1，F2．

∴F1（-c，0），B1（0，b），可得直线F1B1的方程为y=（x+c），即bx-cy+bc=0．

∵双曲线的两顶点为A1、A2，以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，

∴点O到直线F1B1的距离等于半径，即=a，化简得b2c2=a2（b2+c2），

∵b2=c2-a2，∴上式化简为（c2-a2）c2=a2（2c2-a2），整理得c4-3a2c2+a4=0．

两边都除以a4，得e4-3e2+1=0，解之得e2=

∵双曲线的离心率e＞1，

∴e2=，可得e==

故答案为：

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