双曲线的标准方程和图象
共1421题

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双曲线的标准方程和图象
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题型：简答题

简答题

双曲线的两条渐近线的方程为y=±x，且经过点（3，-2）．

（1）求双曲线的方程；

（2）过右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A、B两点，求|AB|．

正确答案

解：（1）∵双曲线的两条渐近线方程的方程为，

∴可设双曲线的方程为2x2-y2=λ（λ≠0），

又∵双曲线经过点（3，-2），代入方程可得λ=6，

∴所求双曲线的方程为；

（2）设A（x1、y1）、B（x2、y2），

过F且倾斜角为60°的直线方程为y=，

联立，可得

所以x2-18x+33=0，

由韦达定理得x1+x2=18，x1x2=33，

则弦长|AB|==2=16．

解析

解：（1）∵双曲线的两条渐近线方程的方程为，

∴可设双曲线的方程为2x2-y2=λ（λ≠0），

又∵双曲线经过点（3，-2），代入方程可得λ=6，

∴所求双曲线的方程为；

（2）设A（x1、y1）、B（x2、y2），

过F且倾斜角为60°的直线方程为y=，

联立，可得

所以x2-18x+33=0，

由韦达定理得x1+x2=18，x1x2=33，

则弦长|AB|==2=16．

题型：单选题

单选题

已知双曲线，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1k2≠0，若|k1|+|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：由题意，可设点M（p，q），N（-p，-q），P（s，t）．

∴，且．

两式相减得．

再由斜率公式得：k1k2=．

∵|k1|+|k2|

根据|k1|+|k2|的最小值为1，可知

∴

故选B．

题型：简答题

简答题

已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足=α+β，其中α，β∈R，且α-2β=1．

（1）求点C的轨迹方程；

（2）设点C的轨迹与双曲线-y2=13，（a＞0）交于两点M，N，且OM⊥ON，求该双曲线的方程．

正确答案

解：（1）设C（x，y），A（1，0），B（0，-2），由=α+β，得

（x，y）=α（1，0）+β（0，-2），

∴，即点C的轨迹方程为x+y=1；

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），

联立，得（1-a2）x2+2a2x-14a2=0．

，

y1y2=（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+x1x2

=1-=．

∵OM⊥ON，

∴==0．

即27a2-1=0，

∴．

∴双曲线的方程27x2-y2=13．

解析

解：（1）设C（x，y），A（1，0），B（0，-2），由=α+β，得

（x，y）=α（1，0）+β（0，-2），

∴，即点C的轨迹方程为x+y=1；

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），

联立，得（1-a2）x2+2a2x-14a2=0．

，

y1y2=（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+x1x2

=1-=．

∵OM⊥ON，

∴==0．

即27a2-1=0，

∴．

∴双曲线的方程27x2-y2=13．

题型：简答题

简答题

设a＞1，椭圆+y2=1与双曲线-y2=1的四个交点构成一个正方形，它们的离心率分别为e1，e2，求+．

正确答案

解：由对称性知，设正方形的一个顶点为（m，m），（m＞0），

则代入椭圆和双曲线方程，即有

+m2=1，-m2=1．

解得a2=，

即有e1=，e2=，

则+=+=1-+

=1-（-1）+2+=4．

解析

解：由对称性知，设正方形的一个顶点为（m，m），（m＞0），

则代入椭圆和双曲线方程，即有

+m2=1，-m2=1．

解得a2=，

即有e1=，e2=，

则+=+=1-+

=1-（-1）+2+=4．

题型：填空题

填空题

已知双曲线的离心率为，顶点与椭圆的焦点相同，那么该双曲线的焦点坐标为______，渐近线方程为______．

正确答案

解析

解：∵椭圆的焦点为（±，0）

∴双曲线的顶点为（±，0），离心率为，

∴a=，，

∴c=2，∴b==

∴该双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为．

故答案为：．

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