双曲线的标准方程和图象
共1421题

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双曲线的标准方程和图象
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题型：简答题

简答题

已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，=(1，)是它的一条渐近线的一个方向向量．

（1）求双曲线C的方程；

（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求•的值；

（3）对于双曲线Γ：-=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（M，N都不同于点E），且EM⊥EN，求证：直线MN与x轴的交点是一个定点．

正确答案

（1）设双曲线C的方程为-=1(a＞0，b＞0)，则a=1，

又=，得b=，所以，双曲线C的方程为x2-=1．

（2）当直线AB垂直于x轴时，其方程为x=-3，A，B的坐标为（-3，4）、（-3，-4），=(-4，4)，=(-4，-4)，所以•=0．

当直线AB不与x轴垂直时，设此直线方程为y=k（x+3），

由得（2-k2）x2-6k2x-9k2-2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1•x2=，

故•=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+3)(x2+3)=(k2+1)x1x2+(3k2-1)(x1+x2)+9k2+1=(k2+1)+(3k2-1)+9k2+1=0．

综上，•=0．

（3）证明：设直线MN的方程为：x=my+t，

由，得（b2m2-a2）y2+2b2mty+b2（t2-a2）=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，分

由EM⊥EN，得（x1-a）（x2-a）+y1y2=0，（my1+t-a）（my2+t-a）+y1y2=0

即(1+m2)y1y2+m(t-a)(y1+y2)+(t-a)2=0，(1+m2)-m(t-a)+(t-a)2=0，

化简得，t=或t=a（舍），

所以，直线MN过定点（，0）．

题型：简答题

简答题

已知双曲线-=1(a＞0，b＞0)的右定点为A，右焦点为F，右准线与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又OA=2OB，OA•OC=2，过点F的直线与双曲线右交于点M、N，点P为点M关于x轴的对称点．

（1）求双曲线的方程；

（2）证明：B、P、N三点共线；

（3）求△BMN面积的最小值．

正确答案

（I）由题意得A（a，0），B（，0，又=2⇒=…①

由⇒C(，). ∴•=2⇒=2…②

联立①、②，得a=2，c=4

∴双曲线的方程为-=1．

（II）由（I），得点B（1，0），F（4，0），设直线l的方程为x=ty+4

由⇒（3t2-1）y2+24ty+36=0

∴=(x1-1，-y1)， =(x2-1 ，y2)

∵（x1-1）y2-（x2-1）（-y1）=x1y2+x2y1-（y1+y2）=（ty1+4）y2+（ty2+4）y1=（ty1+4）y2+（ty2+4）y2

-(y1+y2)=2ty1y2+3(y1+y2)=2t•+3•=0

∴向量与共线，∴B、P、N三点共线．

（III）∵直线l与双曲线右支相交于M、N两点

∴x1x2=（ty2+4）（ty2+4）=t2y1y2+4t（y1+y2）+16

=t2•+4t•+16＞0⇒＜0⇒t2＜

∴S△BMN=|BF|• |y1-y2|=

===

令u=1-3t2，u∈（0，1]

∴S△BMN=6•=6•=6•

由u∈（0，1]⇒∈[1，+∞)

∴当=1，即t=0时，△BMN面积最小值为18．

题型：简答题

简答题

已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P（4，-）．

（1）求双曲线C的方程；

（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：•=0；

（3）求△F1MF2的面积．

正确答案

（1）∵e=，∴可设双曲线方程为x2-y2=λ．

∵过点（4，-），∴16-10=λ，即λ=6．

∴双曲线方程为x2-y2=6；

（2）证明：∵=（-3-2，-m），=（2-3，-m），

∴•=（-3-2）×（2-3）+m2=-3+m2，

∵M点在双曲线上，∴9-m2=6，即m2-3=0，

∴•=0．

（3）△F1MF2中|F1F2|=4，由（2）知m=±．

∴△F1MF2的F1F2边上的高h=|m|=，∴S△F1MF2=6．

题型：简答题

简答题

已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，=(1，)是它的一条渐近线的一个方向向量．

（1）求双曲线C的方程；

（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证：•为定值；

（3）对于双曲线Γ：-=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．

情形一：双曲线-=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左顶点；

情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；

情形三：椭圆+=1(a＞b＞0)及它的顶点．

正确答案

（1）设双曲线C的方程为-=1(a＞0，b＞0)，则a=1，

又=，得b=，所以，双曲线C的方程为x2-=1．

（2）当直线AB垂直于x轴时，其方程为x=-3，A，B的坐标为（-3，4）、（-3，-4），=(-4，4)，=(-4，-4)，得•=0．

当直线AB不与x轴垂直时，设此直线方程为y=k（x+3），由得（2-k2）x2-6k2x-9k2-2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1•x2=，

故•=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+3)(x2+3)

=(k2+1)x1x2+(3k2-1)(x1+x2)+9k2+1．

=(k2+1)+(3k2-1)+9k2+1=0．综上，•=0为定值．

（3）当M，N满足EM⊥EN时，取M，N关于x轴的对称点M'、N'，由对称性知EM'⊥EN'，此时MN与M'N'所在直线关于x轴对称，若直线MN过定点，则定点必在x轴上．

设直线MN的方程为：x=my+t，

由，得（b2m2-a2）y2+2b2mty+b2（t2-a2）=0

设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，

由EM⊥EN，得（x1-a）（x2-a）+y1y2=0，（my1+t-a）（my2+t-a）+y1y2=0，

即(1+m2)y1y2+m(t-a)(y1+y2)+(t-a)2=0，(1+m2)-m(t-a)+(t-a)2=0，

化简得，t=或t=a（舍），

所以，直线MN过定点（，0）．

情形一：在双曲线Γ：-=1(a＞0，b＞0，a≠b)中，若E'为它的左顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E'），且E'M⊥E'N，则直线MN过定点（-，0）．

情形二：在抛物线y2=2px（p＞0）中，若M，N为抛物线上的两点（都不同于原点O），且OM⊥ON，则直线MN过定点（2p，0）．…..（16分）

情形三：（1）在椭圆+=1(a＞b＞0)中，若E为它的右顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，则直线MN过定点（，0）；

（2）在椭圆+=1(a＞b＞0)中，若E'为它的左顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点E'），且E'M⊥E'N，则直线MN过定点（，0）；

（3）在椭圆+=1(a＞b＞0)中，若F为它的上顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点F），且FM⊥FN，则直线MN过定点（0，）；

（4）在椭圆+=1(a＞b＞0)中，若F'为它的下顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点F'），且F'M⊥F'N，则直线MN过定点（0，）．

题型：简答题

简答题

（文）已知双曲线-=1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，满足•=0，||=2||．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）过点P作与实轴平行的直线，依次交两条渐近线于Q，R两点，当•=2时，求双曲线的方程．

正确答案

（I）设PPF1=m，PF2=n（m＞n）

∵•=0，||=2||．

∴

∴5a2=4c2

∴e==

（II）由（I）可得，b2=c2-a2=a2

∴双曲线的方程x2-4y2=a2，渐进线方程为y=±x

设P（x，y）则可得Q（2y，y），R（-2y，y）

∵•=（2y-x，0）•（-2y-x，0）=x2-4y2=2

∴a2=2，b2=

∴双曲线方程为-2y2=1

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