双曲线的标准方程和图象
共1421题

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双曲线的标准方程和图象
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题型：简答题

简答题

根据下列条件求圆锥曲线的标准方程．

（ I）焦点在x轴上，实轴长是10，虚轴长是8的双曲线方程；

（ II）经过两点P1(，1)，P2(-，-)的椭圆．

正确答案

（ I）∵双曲线的焦点在x轴上，实轴长是10，虚轴长是8

故a=5，b=4

则a2=25，b2=16

故双曲线方程为-=1

（II）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m＞0，n＞0）

由椭圆经过两点P1(，1)，P2(-，-)两点

则

解得

故椭圆方程为+=1

题型：简答题

简答题

已知三点P(，-)、A（-2，0）、B（2，0）．（1）求以A、B为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（2）求以A、B为顶点且以（1）中椭圆左、右顶点为焦点的双曲线方程．

正确答案

（1）2a=PA+PB=2

所以a=，又c=2，所以b2=a2-c2=6

方程为：+=1

（2）a=2，c=

所以b2=c2-a2=6

双曲线方程为：-=1

题型：简答题

简答题

求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：

（1）中心在原点，焦点在 x轴上，短轴长为12，离心率为的椭圆；

（2）抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线-=1的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为(，)，求抛物线与双曲线的方程．

正确答案

（1）∵椭圆中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为12，

∴设椭圆方程为+=1，（a＞b＞0）

∵离心率为e=，b=6，

∴=，解之得a=10，

从而得到椭圆方程为+=1；

（2）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），

∵抛物线与双曲线的交点为(，)，

∴6=2p×，可得p=2，

可得抛物线方程为y2=4x，准线方程为x=-1

∵双曲线-=1的一个焦点在抛物线的准线上，∴c=1

又∵(，)是双曲线-=1上的点

∴-=1，

联解①②，可得a2=，b2=，得到双曲线的方程为-=1

∴抛物线的方程为y2=4x，双曲线的方程为-=1．

题型：填空题

填空题

方程+=1表示的曲线为C，给出下列四个命题：

①曲线C不可能是圆；

②若曲线C为椭圆，则1＜t＜4；

③若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4；

④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜．

其中正确命题序号是______．

正确答案

由圆的定义可知：当4-t=t-1时，即t=时方程+=1表示圆，故①错误；

由双曲线的定义可知：当（4-t）（t-1）＜0时，即t＜1或t＞4时方程+=1表示双曲线，故③正确；

由椭圆定义可知：（1）当椭圆在x轴上时，当满足时，即1＜t＜时方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，故④正确．

（2））当椭圆在y轴上时，当满足时，即＜t＜4时方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，故②错误．

故答案为：③④．

题型：简答题

简答题

（1）已知椭圆的焦点在x轴上，且a=4，b=1，求椭圆的标准方程；

（2）已知双曲线的顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，e=，求双曲线的标准方程．

正确答案

（1）根据题意知a=4，b=1，

焦点在x轴上，

∴a2=16 b2=1

∴+y 2=1

故椭圆的标准方程为：+y 2=1．

（2）已知双曲线中心在原点，顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，

则焦点在x轴上，且a=4，

e=，即c：a=5：4，

解得c=5，b=3，

则双曲线的标准方程是 -=1．

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