双曲线的标准方程和图象
共1421题

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双曲线的标准方程和图象
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题型：简答题

简答题

已知二次曲线Ck的方程：+=1．

（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；

（2）若双曲线Ck与直线y=x+1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；

（3）m、n为正整数，且m＜n，是否存在两条曲线Cm、Cn，其交点P与点F1(-，0)，F2(，0)满足PF1⊥PF2，若存在，求m、n的值；若不存在，说明理由．

正确答案

（1）当且仅当⇒k＜4时，方程表示椭圆；----（2分）

当且仅当（9-k）（4-k）＜0⇒4＜k＜9时，方程表示双曲线．---（4分）

（2）化简得：（13-2k）x2+2（9-k）x+（9-k）（k-3）=0----（6分）

△≥0⇒k≥6或k≤4所以6≤k＜9-------（8分）

双曲线的实轴为2，当k=6时，双曲线实轴最长为2

此时双曲线方程为-=1-------（10分）

（3）由（1）知C1，C2，C3是椭圆，C5，C6，C7，C8是双曲线，结合图象的几何性质

任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间无公共点------（12分）

设|PF1|=d1，|PF2|=d2，m∈{1，2，3}，n∈{5，6，7，8}

由椭圆与双曲线定义及•=0；所以m+n=8-----（16分）

所以这样的Cm，Cn存在，且或或-----（18分）

题型：简答题

简答题

已知双曲线C的一条渐近线为y=x，且与椭圆x2+=1有公共焦点．

（1）求双曲线C的方程；

（2）直线l：x-y-2=0与双曲线C相交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否过原点，并说明理由．

正确答案

（1）椭圆x2+=1的焦点坐标为（0，±）

设双曲线的方程为：-=1（a＞0，b＞0），则，∴a=1，b=2

∴双曲线C：y2-=1；

（2）直线l：x-y-2=0与双曲线C联立，消元可得y2-2y-4=0

∴yAyB=-4，yA+yB=2

∴xAxB=2yAyB+（yA+yB）+4=4

∴xAxB+yAyB=0

∴OA⊥OB

∴以AB为直径的圆过原点．

题型：简答题

简答题

已知双曲线的离心率等于2，且与椭圆+=1有相同的焦点，求此双曲线方程．

正确答案

∵椭圆+=1的焦点坐标为（-4，0）和（4，0），

则可设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0），

∵c=4，又双曲线的离心率等于2，即=2，

∴a=2．

∴b2=c2-a2=12；

故所求双曲线方程为-=1．

题型：填空题

填空题

一双曲线与椭圆+=1有共同焦点，并且与其中一个交点的纵坐标为4，则这个双曲线的方程为______．

正确答案

设双曲线方程为-=1(a＞0，b＞0)，

由已知椭圆的两个焦点F1（0，-3），F2（0，3），

又双曲线与椭圆交点A的纵坐标为4，

∴A(±，4)，，

解得，

故双曲线方程为-=1．

故答案为：-+=1．

题型：简答题

简答题

求与椭圆+=1有公共焦点，且一条渐近线为y=x的双曲线的方程．

正确答案

由椭圆标准方程+=1可得的两者公共焦点为（-5，0）和（5，0），（2分）

设双曲线的方程为-=1(a＞0，b＞0)，（4分）其渐近线为y=±x，（6分）

现已知双曲线的一条渐近线为y=x，得=，（7分）又双曲线中a2+b2=52，（8分）

解得a=3，b=4，（10分）∴双曲线的方程为-=1（12分）

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