双曲线的标准方程和图象
共1421题

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双曲线的标准方程和图象
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题型：简答题

简答题

已知椭圆C1：+=1，双曲线C2与C1具有相同的焦点，且离心率互为倒数．

①求双曲线C2的方程；

②圆C：x2+y2=r2（r＞0）与两曲线C1、C2交点一共有且仅有四个，求r的取值范围；是否存在r，使得顺次连接这四个交点所得到的四边形是正方形？

正确答案

①依题意，设双曲线C2的方程为-=1（a＞0，b＞0）

椭圆C1的离心率为=，焦点为F（±2，0），

所以，

解得a=1，c=2，b==．

②椭圆C1的顶点为A（±4，0）、B(0，±2)，双曲线C2的顶点为M（±1，0），椭圆C1与双曲线C2的交点为N（±2，±3），|ON|=．

所以圆C与两曲线C1、C2有且仅有四个交点，

当且仅当1＜r＜2或r=或r＞4．

直线y=±x与椭圆C1的交点为P(±，±)，|OP|=，

因为2＜＜4，且≠，

所以，以O为圆心、|OP|为半径的圆与两曲线C1、C2的交点不只四个，不合要求．

直线y=±x与双曲线C2的交点为Q(±，±)，|OQ|=，1＜＜2，符合要求，

即r=时，交点有且仅有四个，顺次连接这四个交点所得到的四边形是正方形．

题型：简答题

简答题

已知双曲线E的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率e=，且双曲线过点P(2，3)，求双曲线E的方程．

正确答案

由双曲线离心率e=，当焦点在y轴时，设双曲线的方程为-=λ

代入点P(2，3)，解得，λ=，

故双曲线的方程为-=1

当焦点在x轴时，设双曲线的方程为-=λ，

代入点P(2，3)，解得，λ=-7，舍

故双曲线的方程为-=1．

题型：简答题

简答题

如图，F1（-c，0），F2（c，0）分别是双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过点F1作x轴的垂线交双曲线的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线l：x=于点Q，若点Q的坐标为（1，-4）．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．

正确答案

（Ⅰ）将点P（-c，y1）（y1＞0）代入-=1得y1=

∴P（-c，）

∵点Q的坐标是（1，-4），PF2⊥QF2

∴×=-1

∵=1，c2=a2-b2∴a=2，c=4，b==2

∴双曲线C的方程为-=1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F1（-4，0），F2（4，0），P（-4，6），则|PF1|=6，|PF2|=10

设∠F1PF2的角平分线所在直线的方程与x轴交于M（x，0），则由角平分线的性质可得=

∴x=-1，∴M（-1，0）

∴∠F1PF2的角平分线所在直线的方程为=，即2x+y+2=0．

题型：简答题

简答题

若双曲线过点P（3，4），其渐近线方程为2x+y=0，求双曲线的方程？

正确答案

∵渐近线方程为2x+y=0，

∴设双曲线方程为x2-=λ，(λ≠0)，

把P（3，4）代入，得λ=9-=5，

∴双曲线的方程为：-=1．

题型：填空题

填空题

若双曲线的渐近线方程为y=±3x，它的一个焦点是(，0)，则双曲线的方程是______．

正确答案

因为双曲线的渐近线方程为y=±3x，

则设双曲线的方程是x2-=λ，又它的一个焦点是(，0)

故λ+9λ=10∴λ=1，x2-=1

故答案为：x2-=1

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