双曲线的标准方程和图象
共1421题

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双曲线的标准方程和图象
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题型：简答题

简答题

已知双曲线-=1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与双曲线交于B、C两点，且AB⊥AC，|BC|=6．

（1）求双曲线的方程；

（2）设过点F且不垂直于x轴的直线l与双曲线分别交于点P、Q，请问：是否存在直线l，使△APQ构成以A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由．

正确答案

（1）由题意得A（-a，0），F（c，0），BC⊥x轴，

∴B(c，)，C(c，-)．…（2分）

∴c=2a…（3分）

又|BC|=6，

∴=6…（4分）

∴a2=1，b2=3，

∴所求双曲线的方程为x2-=1．…（6分）

（2）设直线l的方程为y=k（x-2），P（x1，y1），Q（x2，y2）．

由，

得（k2-3）x2-4k2x+4k2+3=0．…（7分）

∵l与双曲线有两个交点，故k2-3≠0．

∴…（8分）

要使△APQ成等腰直角三角形，

则需AP⊥AQ，且|AP|=|AQ|

由AP⊥AQ，

得（x1+1）（x2+1）+y1y2=0…（10分）

即(1+k2)+(1-2k2)+1+4k2=0，

对k∈R，且k≠±恒成立（12分）

由|AP|=|AQ|得

解得k2=即k=±…（14分）

综上所述，所求直线存在，其方程为y=±(x-2)（15分）

题型：简答题

简答题

已知双曲线C的中心在坐标原点O，对称轴为坐标轴，点（-2，0）是它的一个焦点，并且离心率为．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）已知点M（0，1），设P（x0，y0）是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，求•的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0），半焦距c，

依题意得　　解得a=，b=1，

∴所求双曲线C的方程为-y2=1．

（Ⅱ）依题意有：Q（-x0，-y0），∴=(x0，y0-1)，

=(-x0，-y0-1)

∴•=-x02-y02+1

，又-y 02=1，•=-+2，由-y 02=1可得，x02≥3，

•=-+2≤-2故•的取值范围x≤-2．

题型：简答题

简答题

已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线-=1(a＞0，b＞0)的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为(，)．

（1）求抛物线的方程；

（2）求双曲线的方程．

正确答案

（1）由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，

∴p=2c．设抛物线方程为y2=4c•x，

∵抛物线过点(，)，∴6=4c•．

∴c=1，

故抛物线方程为y2=4x．

（2）由（1）得p=2，…（5分）

所以，所求双曲线的一个焦点为（1，0），c=1…（9分）

设所求双曲线方程为-=1，

代入点(，)，得a2=…（12分）

故双曲线的方程为：4x2-=1．

题型：简答题

简答题

P是以F1、F2为焦点的双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）上的一点，已知•=0，||=2||．

（1）试求双曲线的离心率e；

（2）过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1、P2两点，当•=-，2+=0，求双曲线的方程．

正确答案

解（1）∵||=2||，||-||=2a，∴||=4a，||=2a．

∵•=0，∴（4a）2+（2a）2=（2c）2，∴e==．

（2）由（1）知，双曲线的方程可设为-=1，渐近线方程为y=±2x．

设P1（x1，2x1），P2（x2，-2x2），P（x，y）．

∵•=-3x1x2=-，∴x1x2=．∵2+=0，∴

∵点P在双曲线上，∴-=1．

化简得，x1x2=．∴=．∴a2=2．∴双曲线的方程为-=1

题型：简答题

简答题

已知F1（-2，0），F2（2，0），点P满足|PF1|-|PF2|=2，记点P的轨迹为E．求轨迹E的方程．

正确答案

由|PF1|-|PF2|=2＜4=|F1F2|可知：点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线的右支，

由c=2，2a=2，∴b2=22-12=3，

故轨迹E的方程为x2-=1(x≥0)．

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