热门试卷

(1)因为f(1)＝b，由点(1，b)在x＋y＝1上，可得1＋b＝1，即b＝0.

因为f′(x)＝anxn－1－a(n＋1)xn，所以f′(1)＝－a.

又因为切线x＋y＝1的斜率为－1，所以－a＝－1，即a＝1.故a＝1，b＝0.

(2)由(1)知，f(x)＝xn(1－x)＝xn－xn＋1，f′(x)＝(n＋1)·xn－1。

令f′(x)＝0，解得，即f′(x)在(0，＋∞)上有唯一零点.

在(0，)上，f′(x)＞0，故f(x)单调递增；

而在(，＋∞)上，f′(x)＜0，f(x)单调递减。

故f(x)在(0，＋∞)上的最大值为.

(3)令φ(t)＝ln t－1＋(t＞0)，

则(t＞0)。

在(0,1)上，φ′(t)＜0，

故φ(t)单调递减；

而在(1，＋∞)上，φ′(t)＞0，

故φ(t)单调递增，

故φ(t)在(0，＋∞)上的最小值为φ(1)＝0，

所以φ(t)＞0(t＞1)，

即ln t＞1－(t＞1)。

令t＝1＋，得，

即，

所以，即.

由(2)知，，

故所证不等式成立。

(1)证法一：记g(x)＝ln x＋－1－(x－1)，则当x＞1时，

。

又g(1)＝0，有g(x)＜0，即f(x)＜(x－1)。

证法二：由均值不等式，当x＞1时，＜x＋1，故

。①

令k(x)＝ln x－x＋1，则k(1)＝0，k′(x)＝－1＜0。

故k(x)＜0，即ln x＜x－1。②

由①②得，当x＞1时，f(x)＜(x－1)。

(2)证法一：记h(x)＝f(x)－。

由(1)得

＝。

令g(x)＝(x＋5)3－216x。

则当1＜x＜3时，g′(x)＝3(x＋5)2－216＜0，

因此g(x)在(1,3)内是递减函数。

又由g(1)＝0，得g(x)＜0，

所以h′(x)＜0，

因此h(x)在(1,3)内是递减函数。

又h(1)＝0，得h(x)＜0。

于是当1＜x＜3时，。

证法二：记h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)，

则当1＜x＜3时，由(1)得

h′(x)＝f(x)＋(x＋5)f′(x)－9

＜(x－1)＋(x＋5)()－9

＝［3x(x－1)＋(x＋5)(2＋)－18x］

＜［3x(x－1)＋(x＋5)(2＋＋)－18x］

＝(7x2－32x＋25)＜0，

因此h(x)在(1,3)内单调递减。

又h(1)＝0，所以h(x)＜0，即。

（1）由题意可得，，   ∴

∴，

所以椭圆的方程为。

（2）曲线是以为圆心，半径为2的圆。

设，点的坐标为，

∵三点共线，     ∴，

而，，则，

∴，

∴点的坐标为，点的坐标为，

∴直线的斜率为，

而，∴，

∴，

∴直线的方程为，化简得，

∴圆心到直线的距离，

所以直线与曲线相切。