利用导数证明不等式
共265题

· 利用导数证明不等式

利用导数证明不等式
共265题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：填空题

填空题 · 5 分

5.函数y= 的定义域是 .

正确答案

[-3,1]

知识点

利用导数证明不等式

题型：单选题

单选题 · 5 分

10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）

C90

D81

正确答案

知识点

利用导数证明不等式

题型：单选题

单选题 · 5 分

8.已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是

正确答案

知识点

利用导数证明不等式

题型：简答题

简答题 · 15 分

20.（本题满分15分）设函数=，.证明：

（I）；

（II）.

正确答案

(Ⅰ)因为

由于，有即，

所以

(Ⅱ)由得，

故，

所以.

由(Ⅰ)得，

又因为，所以，

综上，

知识点

利用导数证明不等式

题型：填空题

填空题 · 13 分

设函数

（I）求曲线在点处的切线方程；

（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；

（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.

正确答案

解：（I）由，得．

因为，，

所以曲线在点处的切线方程为．

（II）当时，，

所以．

令，得，解得或．

与在区间上的情况如下：

所以，当且时，存在，，

，使得．

由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．

（III）当时，，，

此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．

当时，只有一个零点，记作．

当时，，在区间上单调递增；

当时，，在区间上单调递增．

所以不可能有三个不同零点．

综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．

故是有三个不同零点的必要条件．

当，时，，只有两个不同零点.

所以不是有三个不同零点的充分条件．

因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．

知识点

利用导数证明不等式

题型：单选题

单选题 · 5 分

6.已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是

正确答案

知识点

利用导数证明不等式

题型：单选题

单选题 · 5 分

5.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为

正确答案

知识点

利用导数证明不等式

题型：简答题

简答题 · 12 分

21.

设函数.

（I）讨论的单调性；

（II）证明当时，；

（III）设，证明当时，.

正确答案

（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得.

当时，，单调递增；当时，，单调递减. ………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为.

所以当时，.

故当时，，，即. ………………7分

（Ⅲ）由题设，设，则，令，

解得.

当时，，单调递增；当时，，单调递减. ……………9分

由（Ⅱ）知，，故，又，故当时，.

所以当时，. ………………12分

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数证明不等式

题型：简答题

简答题 · 18 分

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

已知R，函数=.

（1）当时，解不等式>1；

（2）若关于的方程+=0的解集中恰有一个元素，求的值；

（3）设>0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.

正确答案

（1）由，得，

解得．

（2）有且仅有一解，

等价于有且仅有一解，等价于有且仅有一解．

当时，，符合题意；

当时，，．

综上，或．

（3）当时，，，

所以在上单调递减．

函数在区间上的最大值与最小值分别为，．

即，对任意

成立．

因为，所以函数在区间上单调递增，时，

有最小值，由，得．

故的取值范围为．

知识点

利用导数证明不等式

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数

26.求的单调区间;

27.设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;

28.若方程有两个正实数根且,求证:.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

的单调递增区间是 ,单调递减区间是.

解析

试题分析：由,可得的单调递增区间是 ,单调递减区间是.

由,可得,当 ,即时,函数单调递增;当 ,即时,函数单调递减.所以函数的单调递增区间是 ,单调递减区间是.

考查方向

本题主要考查导数的运算、导数的几何意义．

解题思路

给出可导函数求单调区间,实质是解关于导函数的不等式,若函数解析式中不含参数,一般比较容易.不过要注意求单调区间,要注意定义域优先原则,且结果必须写成区间形式,不能写成不等式形式.

易错点

导数函数性质与原函数单调性的关系.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

, ,证明在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x, ,对于任意的正实数,都有.

设 ,则 , 曲线在点P处的切线方程为 ,即,令即则.

由于在单调递减,故在单调递减,又因为,所以当时,,所以当时,,所以在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x, ,对于任意的正实数,都有.

解析

见答案.

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的性质等基础知识．

解题思路

利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解.

易错点

构造函数的性质与所求问题的联系

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

设方程的根为 ,可得,由在单调递减,得 ,所以 .设曲线在原点处的切线为方程的根为 ,可得 ,由在在单调递增,且 ,可得所以 .

由（II）知 ,设方程的根为 ,可得,因为在单调递减,又由（II）知 ,所以 .类似的,设曲线在原点处的切线为可得 ,对任意的,有即 .设方程的根为 ,可得 ,因为在单调递增,且 ,因此, 所以.

解析

见答案.

考查方向

本题主要考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题．

解题思路

利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解.

易错点

导数的几何意义及导函数与原函数之间的联系

继续学习学习下一知识点

下一知识点 : 利用导数求参数的取值范围

百度题库 > 高考 > 文科数学 > 利用导数证明不等式

扫码查看完整答案与解析