利用导数证明不等式
共265题

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题型：填空题

填空题 · 4 分

设展开式中二项式系数之和为，各项系数之和为，则。

正确答案

解析

略

知识点

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题型：简答题

简答题 · 12 分

甲、乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：

甲校：

乙校：

（1）计算，的值；

（2）若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率；

（3）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异。

参考数据与公式：

由列联表中数据计算

临界值表

正确答案

见解析。

解析

（1）甲校抽取110×60人，

乙校抽取110×=50人，

故x＝10， y＝7，

（2）估计甲校优秀率为，

乙校优秀率为＝40%.

(3) 表格填写如图，

k2＝≈2.83>2.706

又因为1－0.10＝0.9，故有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异。

知识点

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题型：简答题

简答题 · 16 分

已知函数，.[来源:www.shulihua.net]

（1）若，则，满足什么条件时，曲线与在处总有相同的切线？

（2）当时，求函数的单调减区间；

（3）当时，若对任意的恒成立，求的取值的集合.

正确答案

见解析。

解析

（1），，又，

在处的切线方程为，

又，，又，在处的切线方程为，

所以当且时，曲线与在处总有相同的切线

（2）由，，，

，

由，得，，

当时，函数的减区间为，；

当时，函数的减区间为；

当时，函数的减区间为，.

（3）由，则，，

①当时，，函数在单调递增，

又，时，，与函数矛盾，

②当时，，；，

函数在单调递减；单调递增，

（Ⅰ）当时，，又，，与函数矛盾，

（Ⅱ）当时，同理，与函数矛盾，

（Ⅲ）当时，，函数在单调递减；单调递增，

，故满足题意。

综上所述，的取值的集合为.

知识点

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题型：填空题

填空题 · 4 分

已知，则。

正确答案

解析

略

知识点

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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数是定义在实数集R上的奇函数，当x>0时，，其中

常数。

（1）求函数的解析式；

（2）若函数在区间上是单调减函数，求a的取值范围；

（3）函数的导函数，问是否存在实数，使得对任意实数a，都有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1），时，，所以

（2）函数是奇函数，则在区间上单调减少，当且仅当在区间上单调减少，当时，，……7分，由得，在区间的取值范围为，所以的取值范围为

（3）存在。…，解

，得，因为，所以为所求。

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