· 导数的应用

· 利用导数证明不等式

利用导数证明不等式
共265题

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1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝__________.

正确答案

36

解析

由基本不等式可得4x＋≥＝，当且仅当4x＝即时等号成立，

∴，a＝36.

知识点

利用导数证明不等式

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根。

（1）求{an}的通项公式；

（2）求数列{}的前n项和。

正确答案

见解析。

解析

（1）方程x2﹣5x+6=0的根为2，3.又{an}是递增的等差数列，

故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=，

故an=2+（n﹣2）×=n+1，

（2）设数列{}的前n项和为Sn，

Sn=，①

Sn=，②

①﹣②得Sn==，

解得Sn==2﹣

知识点

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1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

下列函数中，定义域是且为增函数的是（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

对于选项A，在R上是减函数；选项C的定义域为；选项D，在上是减函数，故选B.

知识点

利用导数证明不等式

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数，。

（1）设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值；

（2）设，解关于x的方程；

（3）设，证明：。

正确答案

见解析

解析

（1），

。

令，得（舍去）。

当时。；当时，，

故当时，为增函数；当时，为减函数。

为的极大值点，且。

（2）方法一：原方程可化为，

即为，且

①当时，，则，即，

，此时，∵，

此时方程仅有一解。

②当时，，由，得，，

若，则，方程有两解；

若时，则，方程有一解；

若或，原方程无解。

方法二：原方程可化为，

即，

①当时，原方程有一解；

②当时，原方程有二解；

③当时，原方程有一解；

④当或时，原方程无解。

（3）由已知得，

。

设数列的前n项和为，且（）

从而有，当时，。

又

。

即对任意时，有，又因为，所以。

则，故原不等式成立。

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数证明不等式

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

复数(2＋i)2等于(　　)

A3＋4i

B5＋4i

C3＋2i

D5＋2i

正确答案

A

解析

(2＋i)2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i

知识点

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