热门试卷

证明：（1）∵PA=PB=PC=AC=4，

取AC的中点O，连接OP，OB，可得：OP⊥AC，

，

∵，∴AC2=AB2+BC2，∴△ABC为Rt△。

∴OB=OC=2，PB2=OB2+OP2，∴OP⊥OB。

又∵AC∩BO=O且AC、OB⊂面ABC，∴OP⊥平面ABC，

又∵OP⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC，）

（2）由（1）可知：OP⊥平面ABC，∴OP为三棱锥P﹣ABC的高，且OP=。

直角三角形ABC的面积S=。

∴VP﹣ABC==。

（3）方法一：过点E 作EH⊥AC于H，过点H作HM⊥AD于M，

连接ME，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，EH⊥AC，EH⊂平面ABC，

∴EH⊥平面PAC，∴ME⊥AD（三垂线定理），

∴∠EMH即为所求的二面角的平面角。

∵E，D分别为中点，EH⊥AC，

∴在RT△HEC中：，，

∴

在RT△HMA中，。

在RT△HME中，。

所以。

方法二：

以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

O（0，0，0），A（0，﹣2，0），，C（0，2，0），，，，

∴，，

设平面AED的一个法向量为，

平面ACD的一个法向量为，

则，得，令x=1，则，。

∴，

设所求的二面角为θ，显然θ为锐角，

===。