- 抛物线的定义及应用
- 共118题
19.(本题满分15分)如图,设抛物线的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.
(I)求p的值;
(II)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.
正确答案
(Ⅰ)由题意可得抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离.
由抛物线的第一得,即p=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为,可设
.
因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1,,由
消去x得
,故
,所以
.
又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为
,
从而的直线FN:,直线BN:
,
所以,
设M(m,0),由A,M,N三点共线得:,
于是,经检验,m<0或m>2满足题意.
综上,点M的横坐标的取值范围是.
知识点
设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( )
正确答案
知识点
抛物线y2=4x的焦点坐标是( )
正确答案
知识点
12.设抛物线的焦点为F,过F的直线
与抛物线交于A,B两点,M为抛物线C的准线与
轴的交点,若
,则
( )
正确答案
解析
根据,可求出直线的斜率为1,所以可设
,代入
中,可求出A,B的坐标,然后根据两点间距离公式求解,最后AB的长度为10,所以选D.
考查方向
解题思路
根据直线的斜率设出A点的坐标,然后代入到抛物线方程中,联立求解
易错点
计算能力弱
知识点
如图,已知抛物线,圆
,过点
作不过原点O的直线PA,PB分别与抛
物线
和圆
相切,A,B为切点.
注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.
20.求点A,B的坐标;
21.求△PAB的面积.
正确答案
;
;
解析
试题分析:(1)利用点斜式方程,直线与抛物线相切,求出点A坐标;利用点关于直线对称点的求法得到点B的坐标;由直线PA的斜率存在,设切线PA的方程为:y=k(x﹣t)(k≠0),联立,可得
,
∵,解得k=t,
∴x=2t,∴.
圆的圆心D(0,1),设B
,由题意可知:点B与O关于直线PD对称,
∴,解得
.
∴.
考查方向
解题思路
由直线PA的斜率存在,设切线PA的方程为:y=k(x﹣t)(k≠0),与抛物线方程联立,利用△=0,解得k=t,可得A坐标.圆的圆心D(0,1),设B
,由题意可知:点B与O关于直线PD对称,解得B坐标.
易错点
点关于直线对称点的计算,直线与圆锥曲线方程联立的计算.
正确答案
;
解析
利用两点间距离公式公式和点到直线的距离公式求出三角形的底边长和高,求出三角形面积。
由(1)可得:,直线AB的方程为:
,整理可得(t2﹣1)x﹣2ty+2t=0,
∴点P到直线AB的距离,
又.
∴.
考查方向
解题思路
由(1)可得AB方程:,可得点P到直线AB的距离d,又
.即可得出△PAB的面积。
易错点
点关于直线对称点的计算,直线与圆锥曲线方程联立的计算.
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