抛物线的定义及应用
共118题

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题型：填空题

填空题 · 5 分

设抛物线y2=4x上一点P到直线x=-2的距离为5，则点P到该抛物线焦点的距离是

正确答案

解析

试题分析：由抛物线的定义知：点P到抛物线焦点的距离等于点P到准线x=-1的距离，所以点P到该抛物线焦点的距离是5-1=4.

知识点

抛物线的定义及应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

己知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1两条渐近线分别交于A，B两点，且|AB|=2，则双曲线的离心率e为（　　）

正确答案

解析

∵y2=4x的准线l：x=﹣，

∵双曲线与抛物线y2=4x的准线l：x=﹣交于A，B两点，|AB|=2，

∴A（﹣，1 ），B（﹣，﹣1 ），

将A点坐标代入双曲线方程得，

∴3b2﹣a2=a2b2，⇒a2=（3﹣a2）b2

即a2=（3﹣a2）（c2﹣a2），⇒。

则双曲线的离心率e为。

知识点

抛物线的定义及应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

若抛物线y2=2px上恒有关于直线x+y﹣1=0对称的两点A，B，则p的取值范围是（　　）

正确答案

解析

设A（x1，y1），B（x2，y2），

因为点A和B在抛物线上，所以有①

②

①﹣②得，。

整理得，

因为A，B关于直线x+y﹣1=0对称，所以kAB=1，即。

所以y1+y2=2p。

设AB的中点为M（x0，y0），则。

又M在直线x+y﹣1=0上，所以x0=1﹣y0=1﹣p。

则M（1﹣p，p）。

因为M在抛物线内部，所以。

即p2﹣2p（1﹣p）＜0，解得0＜p＜。

所以p的取值范围是（）。

故选C。

知识点

抛物线的定义及应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

设F是抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（　　）

正确答案

解析

由题意得 F（，0），准线为 x=﹣，设双曲线的一条渐近线为 y=x，则点A（，），

由抛物线的定义得|PF|等于点A到准线的距离，即 =+，

∴=1，e====，

知识点

抛物线的定义及应用

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图，已知椭圆C：的离心率，短轴的右端点为B， M（1，0）为线段OB的中点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点M任意作一条直线与椭圆C相交于两点P，Q试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM =∠QNM ？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由。

正确答案

见解析

解析

解析：

（1）由题意知, …………………1分

由， …………………3分

椭圆方程为。 …………………4分

（2）若存在满足条件的点N，坐标为（t，0），其中t为常数.

由题意直线PQ的斜率不为0，

直线PQ的方程可设为：, …………………5分

设,

联立，消去x 得：, …………………7分

恒成立，所以 ……8分

由知： …………………9分

，

即，即， …………………10分

展开整理得，

即 …………………12分

即，又不恒为0，.故满足条件的点N存在，坐标为……14分

知识点

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