热门试卷

解：由题意，矩阵M的行列式=0，解得x=5，…（4分）

矩阵M=的特征多项式=（λ-5）（λ-6）-（-5）×（-6），…（8分）

令f（λ）=0并化简得λ2-11λ=0，

解得λ=0或λ=11，

所以矩阵M的特征值为0和11．…（10分）

解：（I）∵=（-2）（-）-1×=-≠0，∴B==；

（II）任取直线l上一点P（x，y），

经矩阵B变换后点为P′（x′，y′），则有 =，

则，又7x‘-3y'=0，则7（x+2y）-3（3x+4y）=0，x-y=0．

即直线l的方程为x-y=0．

解：（Ⅰ）|A|=-1，所以A-1=-------------------------（3分）

（Ⅱ）-----（7分）

设 X=，则AX==．

又AX=B=，

∴，解得 ，

故X=．

解：（Ⅰ）设点P（x，y）为圆C：x2+y2=1上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为P‘（x'，y'），

则，所以

因为点P'（x'，y'）在椭圆E：上，所以，…（2分）

又圆方程为x2+y2=1，故，即，

又a＞0，b＞0，所以a=2，．…（4分）

（Ⅱ），因为，所以矩阵A可逆，…（5分）

所以…（7分）

（1）解：（Ⅰ）M==

∵矩阵M表示变换“顺时针旋转45°”

∴矩阵M-1表示变换“逆时针旋转45°”

∴M-1==

（Ⅱ）三角形ABC的面积S△ABC=×（3-1）×2=2，

由于△ABC在旋转变换下所得△A1B1C1与△ABC全等，故三角形的面积不变，即S△A1B1C1=2．

（2）解：（Ⅰ）曲线E的普通方程为x2+2y2=1

L的参数方程为（t为参数）                       

（Ⅱ）将L的参数方程代入由线E的方程得（1+sin2α）t2+（4cosα）t+3=0

由△=（4cosα）2-4（1+sin2α）×3≥0得

∴

（3）（Ⅰ）证明：由柯西不等式得

代入已知a+b+c=3，∴

当且仅当a=b=c=1，取等号．

（Ⅱ）由得，若c=ab，则，，

所以，c≤1，当且仅当a=b=1时，c有最大值1．

解：设P（x，y）为直线2x-y=3上任意一点其在M的作用下变为（x‘，y'）

则

代入2x-y=3得：-（b+2）x+（2a-3）y=3其与2x-y=3完全一样．

故得

则矩阵 又因为MM1=E

则

解：（Ⅰ）根据题意，可知存在实数λ（λ≠0），

使得=λ，

即，

又因为k≠0，所以，

所以m=0，特征向量相应的特征值为1；

（Ⅱ）因为|B|=3×1-2×2=-1，

所以B-1=，

因此阵B-1A==．

解：∵≠0，

从而A的逆矩阵为A-1=．      …（7分）

所以A-1B==．                        …（10分）

（1）解：（Ⅰ）∵

∴

将a=2，b=3代入即得：

（Ⅱ）设出曲线C：x2+y2=1任意一点为（x0，y0）经矩阵M所对应的线性变换作用下得到的点为（x，y），

∵M（x0，y0）=（x，y）

∴

将之代入得：

即

∵a＞0，b＞0

∴

（2）（Ⅰ）解∵P的极坐标为（4，），

∴P的直角坐标为（0，4）

∵直线l的方程为x-y+4=0

∴（0，4）在直线l上

（Ⅱ）∵曲线C的参数方程为，直线l的方程为x-y+4=0

设曲线C的到直线l的距离为d

则d==

∵2sin（）∈[-2，2]

∴d的最小值为

（3）（Ⅰ）解：∵|2x-1|＜1

∴-1＜2x-1＜1

即0＜x＜1

即M为{x|0＜x＜1}

（Ⅱ）∵a，b∈M

∴a-1＜0．b-1＜0

∴（b-1）（a-1）＞0

∴（ab+1）-（a+b）=a（b-1）+（1-b）=（b-1）（a-1）＞0

即（ab+1）＞（a+b）