· 平面向量的数量积

· 数量积表示两个向量的夹角

数量积表示两个向量的夹角
共583题

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1

题型：填空题

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填空题

非零向量，满足2•=

a

2•

b

2，||+||=2，则与的夹角的最小值是______．

正确答案

设＜，＞=θ

∵2•=

a

2•

b

2，∴cosθ=

∵||+||=2

∴cosθ=≤

当且仅当||=2-||，即||=1时，取等号

∴θ≥

∴与的夹角的最小值是

故答案为：

1

题型：填空题

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填空题

已知向量=（1，2），=（2，x）如果与所成的角为锐角，则x的取值范围是______．

正确答案

∵向量=（1，2），=（2，x）

∵与所成的角为锐角

∴•＞0且与不能共线

∴1×2+2x＞0

∴x＞-1且x≠4

故答案为：x＞-1且x≠4

1

题型：简答题

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简答题

已知||=4，||=3，(2-3)•(2+)=61，

（1）求与的夹角θ；

（2）若=(1，2)，且⊥，试求．

正确答案

（1）∵(2-3)•(2+)=4

a

2-4•-3

b

2=4×16-4×4×3×cosθ-3×9=61，

∴cosθ=-，（4分）

∴θ=120°．（6分）

（2）设=(x，y)，则，解得或．（10分）

所以，=(-，)或(，-)．（12分）

1

题型：简答题

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简答题

已知向量，的夹角为60°，且||=1，||=2，设=3-，=t+2

（1）求•；（2）试用t来表示•的值；（3）若与的夹角为钝角，试求实数t的取值范围．

正确答案

（1）∵向量，的夹角为60°，且||=1，||=2，

∴•=1×2×cos60°=1； …（3分）

（2）∵=3-，=t+2

∴•=(3-)•(t+2)=3t

a

2+(6-t)•-2

b

2=3t+6-t-2×4=2t-2…（3分）

（3）夹角为钝角，于是•＜0且与不平行．

其中•＜0⇒t＜1，而∥⇒t=-6，

于是实数t的取值范围是t∈（-∞，-6）∪（-6，1）．…（3分），其中没排除平行情况扣（2分）

1

题型：填空题

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填空题

若平面向量=(-1，2)与的夹角为180°，且||=3，则的坐标为______．

正确答案

∵与夹角是180°

∴设=λ（-1，2），

∵||=，||=3，

∴λ=±3，

∵两向量方向相反，

∴λ=-3

∴=(3，-6)

故答案为：（3，-6）

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