· 平面向量的数量积

· 数量积表示两个向量的夹角

数量积表示两个向量的夹角
共583题

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题型：简答题

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简答题

已知向量=(cosx，sinx)，=(-cosx，cosx)，=(-1，0)

（I）若x=，求向量与的夹角θ：

（II）当x∈R时，求函数f（x）=2-+1的最小正周期T．

正确答案

（I）当x=时，

cosθ==

=-cosx=-cos=-

∴θ=

（II）∵f（x）=2•+1=2（-cos2x+sinxcosx）+1

=2sinxcosx-（2cos2x-1）

=2sin2x-cos2x=sin（2x-）

∴T==π

答：若x=时，两向量的夹角为；函数f（x）的最小正周期为π

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题型：简答题

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简答题

已知：A（5，0），B（0，5），C（cosα，sinα），α∈（0，π）．

（1）若⊥，求sin2α；

（2）若|+|=，求与的夹角．

正确答案

（1）=(cosα-5，sinα)，=(cosα，sinα-5)，（1分）

⊥，∴•=cosα(cosα-5)+sinα(sinα-5)=0，

即sinα+cosα=，（4分）

∴(sinα+cosα)2=，∴sin2α=-，（7分）

（2）+=(5+cosα，sinα)，

则|+|==（9分）

∴cosα=又α∈（0，π），∴sinα=，C(，)，

∴•=，（11分）

设与夹角为θ，则cosθ===，

∴θ=30°，与夹角为30°．（14分）．

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题型：简答题

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简答题

（文）已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（a，4）、B（0，b）、C（c，0）．

（1）若a=1，b=2，且•=0；求c的值；

（2）若虚数x=a+i是实系数方程x2-6x+2c=0的根，且b=0，求sinA的值．

正确答案

（1）=(-1， -2)，=(c-1， -4)（2分）

由 •=1-c+8=0，（4分）

解得 c=9（6分）

（2）x=a-i也是实系数方程x2-6x+2c=0的根，

由韦达定理，得a=3，c=5，（8分）

=(-3， -4)，=(2， -4)（10分）

cosA===（12分）

∴sinA===（14分）

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题型：简答题

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简答题

已知向量=（sinB，1-cosB）与向量=（2，0）的夹角为，其中A、B、C是△ABC的内角．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）∵•=2sinB，（1分）

又•=×2×=，（2分）

∴2sinB=化简得：2cos2B-cosB-1=0，

∴cosB=1（舍去）或cosB=-，（4分）

又∵B∈（0，π），∴B=π；（5分）

（Ⅱ）sinA+sinC=sinA+sin(-A)=sinA+cosA-sinA=sinA+cosA=sin(A+)（8分）

∵0＜A＜，∴＜A+＜π，

则＜sin(A+)≤1，

∴sinA+sinC∈(，1]（10分）

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题型：简答题

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简答题

已知：向量=(，-1)，=(sin2x，cos2x），（0＜x＜π），函数f(x)=•．

（1）若f（x）=0，求x的值；

（2）求函数f（x）的取得最大值时，向量与的夹角．

正确答案

∵f(x)=•=sin2x-cos2x

（1）由f（x）=0得sin2x-cos2x=0即tan2x=

∵0＜x＜π，∴0＜2x＜2π

∴2x=，或2x=，

∴x=或

（2）∵f(x)=sin2x-cos2x=2(sin2x-cos2x)

=2(sin2xcos-cos2xsin)=2sin(2x-)

∴当x=时，f（x）max=2

由上可得f（x）max=2，当f（x）=2时，

由•=||•||cos＜，＞=2得cos＜，＞==1，

∵0≤＜，＞≤π∴＜，＞=0

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