数量积表示两个向量的夹角
共583题

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题型：简答题

简答题

已知A，B，C是平面坐标内三点，其坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（0，-1）

（Ⅰ）求•和∠ACB大小，并判断△ABC形状；

（Ⅱ）若M为BC中点，求||．

正确答案

（1）∵A（1，2），B（4，1），C（0，-1）

∴=（3，-1），=（-1，-3）

可得•=3×（-1）+（-1）×（-3）=0

又∵==

∴△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形；

（2）∵B（4，1），C（0，-1）

∴BC的中点M坐标为（2，0），可得=（1，-2）

因此，||==．

题型：填空题

填空题

已知=(x，2x)，=(-3x，2)，如果∠BAC是钝角，则x的取值范围是______．

正确答案

∵=(x，2x)，=(-3x，2)，

若果∠BAC是钝角，

则•=-3x2+4x＜0

解得x∈(-∞，0)∪(，+∞)

又∵当x=-时，=-，不满足条件

故x∈(-∞，-)∪(-，0)∪(，+∞)

故答案为：(-∞，-)∪(-，0)∪(，+∞)

题型：简答题

简答题

平面内的点P（1，cosx），Q（cosx，1），x∈(-，)，O为原点，若，两个向量的夹角为θ，求：f（x）=cosθ的最大值及相应的x的值．

正确答案

由已知可得 f（x）=cosθ==．∵x∈(-，)，令t=cosx∈[-，1]，

可得 f（x）==≤1，当且仅当t=1时，等号成立．

故f（x）=cosθ的最大值为1，此时，t=cosx=1，x=0．

题型：简答题

简答题

已知△ABC的内角B满足2cos2B-8cosB+5=0，又若•=-9，||=3，||=5．θ为与的夹角．求sin（θ+B）的值．

正确答案

∵2cos2B-8cosB+5=0

∴4cos2B-8cosB+5=0，

∴cosB=，或cosB=(舍)

∴sinB=

又∵cosθ===-，且θ∈（0，π）

∴sinθ=

∴sin(θ+B)=•+(-)•=．

题型：简答题

简答题

设向量=（1+cosα，sinα），=（1-cosβ，sinβ），=（1，0）．其中，α∈（0，π）β∈（π，2π）．与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，当θ1-θ2=时，求sin的值．

正确答案

∵与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，则θ1，θ2∈（0，π）

又α∈（0，π）β∈（π，2π）

∴cosθ1======cos

∴θ1=α

同理可得cosθ2==sin=cos（）

∵∈(π，π)

∴θ2=

∵∵θ1-θ2=

∴-=

∴=-

∴sin=-

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