数量积表示两个向量的夹角
共583题

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数量积表示两个向量的夹角
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题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆O相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为、

（Ⅰ）求cos（α-β）的值；

（Ⅱ）若点C为单位圆O上异于A、B的一点，且向量与夹角为，求点C的坐标．

正确答案

（Ⅰ）依题意得，cosα=，cosβ=，…（2分）

∵α，β为锐角，

∴sinα==，sinβ==，…（4分）

则cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

=×+×

=；…（6分）

（Ⅱ）设点C的坐标为（m，n），

∵C在单位圆上，则m2+n2=1，①…（7分）

∵向量与夹角为，||=||=1，且=（m，n），=（cosα，sinα）=（，），

∴cos==，…（9分）

整理得：=m+n，即m+7n=5，②…（10分）

联立方程①②，

解得：或…（11分）

∴点C的坐标为(，)或(-，)．　　　…（12分）

题型：简答题

简答题

已知向量=(cos(α+β)，sin(α+β))，=(-sinβ，cosβ)，若向量与的夹角为，且α∈(，2π)，求cos(2α+)的值．

正确答案

∵||=，||=1，cos=-==

=sinα，∴sinα=-．又α∈(，2π)，∴α=． cos2α=2cos2α-1=-，

sin2α=2sinα cosα=-，

∴cos(2α+)=cos2αcos-sin2αsin=-×+×=．

题型：简答题

简答题

已知A（2，3），B（5，4），C（7，8）

（1）若=+λ，(λ∈R)，试求当λ为何值时，点P在第三象限内．

（2）求∠A的余弦值．

（3）过B作BD⊥AC交于点D，求点D的坐标．

（4）求S△ABC．

正确答案

（1）设P（x，y），=(x-2，y-3)，=(3，1)，λ=(5λ，5λ)，

∵=+λ，(λ∈R)，

∴，即，

∵点P在第三象限内，

∴，解得：λ＜-1．

（2）∵=(3，1)，=(5，5)，

∴cosA=|| =．

（3）利用A（2，3），C（7，8）求出直线AC的表达式，

可用直线表达式y=kx+b，A、C两点代进去求出．

得k=1，b=1，

直线AC的表达式为y=x+1．

也由此知AC的斜率为1，

又因为BD⊥AC，

所以知直线BD的斜率为k=-1，

又因为直线BD过点B（5，4），

所以可求得直线BD的表达式是y=-x+9

解方程组，得x=4，y=5′．

∴两直线的交点坐标为D（4，5）．

（2）根据两点间的距离公式d=，

得到AC=5，

BD=，

由（1）知BD⊥AC，

所以S△ABC=AC×BD=5××=5．

题型：简答题

简答题

已知=（sinA，-cosA），=（2，0）且向量与所成的角为，其中A，B，C为△ABC的内角．

（1）求角A的值；

（2）求sinB+sinC的取值范围．

正确答案

解（1）∵，所成的角为π

∴代入化简得到：2cos2A-cosA-1=0

解得：cosA=1（舍去）或cosA=-

∴A=

（2）∵A=

∴B+C=π即C=π-B

令y=sinB+sinC=sinB+sin（π-B）=sin（B+π）

∵B∈(0，π)，

∴B+π∈(π，π)

∴＜y≤1

题型：填空题

填空题

已知向量=（ 2cosα，2sinα），=（ 3sosβ，3sinβ），向量与的夹角为30°则cos（α-β）的值为______

正确答案

∵=（ 2cosα，2sinα），=（ 3sosβ，3sinβ），

又∵向量与的夹角为30°

∴cos30°==cos（α-β）

∴cos（α-β）=

故答案为：

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