· 平面向量的数量积

· 数量积表示两个向量的夹角

数量积表示两个向量的夹角
共583题

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1

题型：简答题

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简答题

已知||=4，||=2，且与的夹角θ为60°，求

（1）（-2）•（+3）；

（2）与-的夹角φ．

正确答案

（1）原式=

a

2+3•-2•-6

b

2…（1分）

=

a

2+•-6

b

2…（2分）

=|

a

|2+||||cos60°-6|

b

|2…（3分）

=16+4-24=-4…（4分）

（2）∵|-|==…（6分）

=…（7分）

=2…（8分）

∴cosφ=…（9分）

=…（10分）

=…（11分）

又0°≤φ≤180°，∴φ=30°…（12分）

1

题型：简答题

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简答题

已知A（-1，3），B（2，2），C（-3，-1）求（1）△ABC的面积（2）∠BAC的大小．

正确答案

（1）∵•=（3，-1）•（-2，-4）=-6+4=-2，

||=，||==2，

∵•=||×||cos∠BAC=×2cos∠BAC=-2，

∴cos∠BAC=，

sin∠BAC=，

∴△ABC的面积为 ×||×||×sin∠BAC=××2×=7．

（2）由上可知，tan∠BAC===-7，

∴∠BAC=π-arctan7．

1

题型：简答题

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简答题

已知向量，，满足||=1，||=1，|k+|=|-k|，k＞0，

（1）用k表示•，并求与的夹角θ的最大值；

（2）如果∥，求实数k的值．

正确答案

（1）|k+|=|-k|⇒(k+)2=3(-k)2

即∴k2

a

2+2k•+

b

2=3

a

2-6k•+3k2

b

2⇒•=．

∵•=(k+)≥，．

此时cosθ==•≥⇒θmax=60°．

（2）∵∥，∴与夹角为0°或180°•=||||cosθ=±1⇒||=1

又∵k＞0，∴k2+1=4k⇒k=2±．

1

题型：简答题

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简答题

已知||=3，||=2，且3+1与4-3垂直，求与夹角的余弦值．

正确答案

∵3+5与4-3垂直，

∴（3+5）•（4-3）=0，即12

a

2+11•-15

b

2=0，

又||=3，||=2，

∴•=-，

则cos＜，＞==-．

1

题型：简答题

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简答题

在△ABC中，满足与的夹角为60°，M是AB的中点．

（1）若||=||，求向量+2与的夹角的余弦值．

（2）若|AB|=2，||=2，在AC上确定一点D的位置，使得•达到最小，并求出最小值．

正确答案

（1）设||=||=a，cos＜+2，＞===

（2）因为＜，＞ =60°，|AB|=2，||=2，由余弦定理知：|AC|=4

M是AB的中点，所以AM=1，因为D是AC上一点，设AD=x，则DC=4-x，所以

•=(+) •(+)=

DA

2+ •+•+•

=x2-x-×2x+2=(x-

3

4

)2+

所以当x=∈(0，4)时，即D距A点处，•取到最小，最小值为．

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