数量积表示两个向量的夹角
共583题

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题型：简答题

简答题

已知点A（2，4），B（1，-2），C（-2，3），求△ABC的面积．

正确答案

设AB边上的高为h，则S△ABC=|AB|•h．

|AB|==，

AB边上的高h就是点C到AB的距离．

AB边所在的直线方程为6x-y-8=0．

点C（-2，3）到6x-y-8=0的距离h=，

因此，S△ABC=×|AB|h=××=．

题型：简答题

简答题

已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量=(sinB，1-cosB)与向量=(2，0)夹角的余弦角为．

（1）求角B的大小；

（2）求sinA+sinC的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）∵m=（sinB，1-cosB），n=（2，0），

∴cos＜m，n＞==.（2分）

即=.∴2cos2B-cosB-1=0．

解得cosB=-或cosB=1（舍）∵0＜B＜π∴B=.（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知A+C=

∴sinA+sinC=sinA+sin(-A)=sinA+cosA=sin(A+).（9分）

∵0＜A＜，∴＜A+＜.

∴sin(A+)∈(，1].即sinA+sincC∈(，1].（13分）

题型：简答题

简答题

已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB=4，AD=3，AA′=5，∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°，

（1）求AC′的长；（如图所示）

（2）求与的夹角的余弦值．

正确答案

（1）可得=+=++，

故||2=|++|2=

AA′

+2（•+•+•）

=42+32+52+2（4×3×0+4×5×+3×5×）=85

故AC′的长等于||=

（2）由（1）可知=++，||=

故′•=（++）•（+）

2+2•+

2+•+•

=42+2×4×3×0+32+5×4×+5×3×=

又||====5

故与的夹角的余弦值===

题型：简答题

简答题

已知平面内向量，，两两所成的角相等且两两夹角不为0，且||=1，||=2，||=3，

（1）求向量++的长度；

（2）求向量++与的夹角．

正确答案

（1）∵平面内向量，，两两所成的角相等，

∴三个向量所成的角都是120°，

∴|++|2=

2+2•+2••+2•

=1+4+9-2-6-3=3

∴|++|=

（2）设两个向量的夹角为θ，

∴cosθ===-

∴两个向量的夹角是π，

即两个向量之间的夹角是π．

题型：简答题

简答题

已知=（1，2），=（1，-1）

（1）若θ为2+与-的夹角，求θ的值；

（2）若2+与k-垂直，求k的值．

正确答案

（1）∵=（1，2）=（1，-1）

∴2+=（3，3），-=（0，3）

由此可得（2+）（-）=3×0+3×3=9

∴cosθ===

∵θ∈[0，π]，∴θ=；

（2）∵=（1，2）=（1，-1）

∴2+=（3，3），k-=（k-1，2k+1）

∵向量2+与k-垂直，

∴3（k-1）+3（2k+1）=0，解之得k=0

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