· 平面向量的数量积

· 数量积表示两个向量的夹角

数量积表示两个向量的夹角
共583题

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为，焦点坐标分别为F1（-2，0），F2（2，0）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知A（-3，0），B（3，0），p（xp，yp）是椭圆C在第一象限部分上的一动点，且∠APB是钝角，求xp的取值范围；

正确答案

（1）∵=，c=2，a2=b2+c2

∴a2=9，b2=5

所以椭圆C的标准方程为+=1．

（2）∵=(-3-xp，-yp)，=(3-xp，-yp)

且∠APB是钝角

∴•=xp2-9+yp2＜0

又∵+=1

∴-3＜xp＜3

又∵点p在第一象限

所以：0＜xp＜3

1

题型：简答题

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简答题

已知||=，||=3，与的夹角为45°，当+λ与λ+的夹角为锐角时，求λ的取值范围．

正确答案

（1）当λ：1=1：λ，即λ=±1时，+λ与λ+共线，∴λ≠±1．

（2）若+λ与λ+夹角为为锐角时，

（+λ）•（λ+）=|+λ|•|λ+|•cosθ＞0且λ≠±1，

∵2=2，2=9，•=||•||•cos45°=3，∴3λ2+11λ+3＞0，

∴λ＜或λ＞（λ≠1）．

综上：λ∈（-∞，）∪（，1）∪（1，+∞）．

1

题型：填空题

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填空题

设向量、的长度分别为4和3，夹角为60°，则|+|=______．

正确答案

∵、的长度分别为4和3，夹角为60°，

∴

a

2+•+

b

2=16+4×3×cos60°+9=31

∵|+|===，

故答案为：

1

题型：简答题

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简答题

已知||=4，||=3，（2 -3）•（2+）=61．

（1）求与的夹角：

（2）求2+和-4夹角的余弦．

正确答案

（1）由已知得，42-32-4•=61，即4×16-3×9-4×4×3cosθ=61．

解得cosθ=-，θ∈[0，π]．

所以，与的夹角是；

（2）|2+|2=（2+）2

=42+2+4•

=4×16+9+4×4×3×(-)

=49．

所以，|2+|=7．

同理，可求得|-4|=4．

所以，2+和-4夹角的余弦为

cosφ===．

1

题型：填空题

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填空题

已知||=1，||=6，•（-）=2，则向量与的夹角为______．

正确答案

由•（-）=2，得•-

a

2=2，即•=3，

cos＜，＞===，

所以＜，＞=，

故答案为：．

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