· 平面向量的数量积

· 数量积表示两个向量的夹角

数量积表示两个向量的夹角
共583题

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1

题型：填空题

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填空题

已知向量与的夹角为120°，若向量=+，且⊥，则=______．

正确答案

由题意知•=||||cos120°=-||||．

又∵⊥，

∴（+）•=0，

∴2+•=0，

即||2=-•=||||，

∴=．

故答案为：

1

题型：填空题

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填空题

已知2-=（-1，），=（1，）且•=3，||=4，则与的夹角为 ______．

正确答案

设，的夹角为θ

∵2-=(-1，)， =(1，)

∴( 2-)•=2

即2•-•=2

∵•=3

∴•=4

||||cosθ=4

∴cosθ=

∴θ=60°

故答案为60°

1

题型：简答题

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简答题

已知，，是同一平面内的三个向量，其中=(1， 2)．

（Ⅰ）若||=3，且∥，求的坐标；

（Ⅱ）若与的夹角θ的余弦值为-，且(+)⊥(-9)，求||．

正确答案

（Ⅰ）∵∥，可设=λ=(λ， 2λ)，…（1分）

则||2=λ2+4λ2=45，解得λ2=9…（2分）

∴λ=±3，∴=(3， 6)．或=(-3， -6)．…（3分）

（Ⅱ）∵cosθ=-，||=，∴•=||||cosθ=-||． …（4分）

又∵(+)⊥(-9)，∴(+)•(-9)=0…（5分）

∴||2-8•-9||2=0，∴5+4||-9||2=0…（6分）

解得||=1或||=-（舍）

∴||=1…（7分）

1

题型：填空题

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填空题

已知||=2，||=3，（-）•（+）=-1，则与的夹角为______．

正确答案

∵已知||=2，||=3，（-）•（+）=-1，设与的夹角为θ，

则有 2

a

2-2

b

2-3•=8-18-3×2×3cosθ=-1，解得 cosθ=-，

再由 0°≤θ≤180°可得θ=120°，

故答案为 120°．

1

题型：简答题

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简答题

已知||=1，||=，与夹角为θ

（Ⅰ）若与共线，求•

（Ⅱ）若-与垂直，求θ．

正确答案

（1）∵与共线，∴θ=0或π，∴•=|| ||cosθ=±．

（2）∵(-)⊥，

∴(-)•=0，

∴||2-|| ||cosθ=0，

∴cosθ===，

∵0≤θ≤π，∴θ=．

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