- 数量积表示两个向量的夹角
- 共583题
已知=
,
=
,
•
=|
-
|=2,
(1)当△AOB的面积最大时,求与
的夹角θ;
(2)在(1)的条件下,判断△AOB的形状,并说明理由.
正确答案
(1)由面积公式得,S△AOB=|
•|
|sinθ变形得S△AOB=
,
又由•
=|
-
|=2,平方整理可解得
a
2+
b
2=8,
由基本不等式
a
2+
b
2=8≥2|•|
|,即|
•|
|≤4等号当|
=|
|时成立
故S△AOB=≤
=
此时有S△AOB=|
•|
|sinθ=
得sinθ=
即
与
的夹角θ=600
(2)在(1)的条件下,|=|
|,
与
的夹角θ=600
可知此三角形是等边三角形.
若向量a,b满足||=|
|=1,
,
的夹角为60°,则
•
+
•
=______.
正确答案
∵•
=|
||
|cos60°=
,
•
=|
a
|2=1
∴•
+
•
=1+
=
.
故答案为
已知=(3,3),且|
|=1,|2
+
|=
,则向量
,
夹角为______.
正确答案
设向量,
夹角为α
∵||=1,|2
+
|=
,
∴|2+
|2=4|
|2+4
•
+|
|2=10,
又∵||=1且|
|=
=
∴4+4•
+18=10,解得
•
=-3
即•
cosθ=1×3
×cosα=-3,解之得cosα=-
,
结合α∈(0,π)得向量,
夹角α=
故答案为:
已知△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,求向量和向量
的夹角.
正确答案
设D(x,y),则=(x-2,y+1)(1分)
∵=(-6,-3),
•
=0
∴-6(x-2)-3(y+1)=0,即2x+y-3=0 ①(2分)
∵=(x-3,y-2),
∥
∴-6(y-2)=-3(x-3),即x-2y+1=0 ②(2分)
由①②得:
∴D(1,1),(2分)
=(-1,2)
=(5,0)(1分)
设向量和向量
的夹角为θ
cosθ==-
(2分)
θ=π-arccos(2分)
向量,
满足|
|=2,|
|=1,
•(
+
)=4-
,则向量
,
的夹角大小为______.
正确答案
由题意可得 4-=
a
2+ •
=4+2×1cos<
,
>,∴cos<
,
>=-
,
根据0≤<,
>≤π,可得<
,
>=
,
故答案为 .
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