- 数量积表示两个向量的夹角
- 共583题
已知向量=(sinx,cosx),
=(sinx,sinx),
=(-1,0)
(1)若x=,求向量
,
的夹角;
(2)若x∈[-π,
],求函数f(x)=
•
的最值.
正确答案
(1)当x=时,
=(sinx,cosx)=(
,
)
∴cos<,
>=
= -
∴〈,
>=
,
(2)f(x)=sin2x+sinxcosx=-
sin(2x-
)
∵x∈[-π,
]
∴2x-∈[-π,
]
∴x=-,f(x)最大值为
+
;当x=
时,f(x)有最小值为0.
已知=(2,3),
=(x,2),
(1)当-2
与2
+
平行时,求x的值;
(2)当与
夹角为锐角时,求x的范围.
正确答案
(1)由题意得:-2
=(2-2x,-1)(2分)
2+
=(4+x,8)(4分)
由-2
与2
+
平行得:(2-2x)•8-(-1)•(4+x)=0(6分)
∴x=(7分)
(2)由题意得:(10分)
即(12分)
∴x>-3且x≠(14分)
设向量,
满足|
|=|
|=1及|3
-2
|=
(Ⅰ)求,
夹角的大小;
(Ⅱ)求|3+
|的值.
正确答案
(Ⅰ)设与
夹角为θ,∵向量
,
满足|
|=|
|=1及|3
-2
|=
,
∴9
a
2+4
b
2-12•
=7,∴9×1+4×1-12×1×1×cosθ=7,∴cosθ=
.
又θ∈[0,π],∴与
夹角为
.
(Ⅱ)∵|3+
|=
=
=
.
已知||=1,|
|=
.
(1)若∥
,求
•
;
(2)若,
的夹角为60°,求|
+
|;
(3)若-
与
垂直,求
与
的夹角.
正确答案
(1)∵∥
,
∴,
向量的夹角θ为0或π
则cosθ=±1
又∵||=1,|
|=
.
•
=
或-
(2)∵,
的夹角为60°
且||=1,|
|=
∴•
=
,
a
2=1,
b
2=2
∴|+
|=
(3)若-
与
垂直
则(-
)•
=0
即
a
2-•
=0
即•
=1
∴cosθ==
∴与
的夹角为45°
如图,函数y=2sin(πx+φ),x∈R(其中0<φ≤)的图象与y轴交与点(0,1).
(1)求φ的值;
(2)设P是图象上的最高点,M,N是图象与x轴交点,求与
的夹角的余弦值.
正确答案
(1)把点(0,1)代入函数y=2sin(πx+φ)可得,sinφ=,再由0<φ≤
知φ=
.
(2)由(1)知 函数y=2sin(πx+),结合图象可得点P(
,2 ),
M(-,0),N (
,0),故PM=
=
,PN=
=
,MN=1,
△PMN中,由余弦定理可得 1=+
-2×
×
cos<
,
>,
解得 cos<,
>=
.
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