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题型:简答题
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简答题

已知向量满足||==(1,-3),且(2+)⊥

(1)求向量的坐标;  

(2)求向量的夹角.

正确答案

(1)设=(x,y)

因为 ||=则   =-------①

又∵已知=(1,-3),且(2+)⊥

2+=2(x,y)+(1,-3)=(2x+1,2y-3)

∴(2x+1,2y-3)•(1,-3)=2x+1+(2y-3)×(-3)=0-------②

由①②解得   

=(1,2)或=(-2,1)

(2)设向量的夹角θ

∵cosθ=-

∴cosθ===--

或cosθ===-

∵0≤θ≤π

∴向量的夹角θ=

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题型:简答题
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简答题

已知A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),O为原点.

(1)若,求sin2α的值;

(2)若丨+丨=,α∈(0,π),求的夹角.

正确答案

(1)因为A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),

所以=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3),

,所以(cosα-3,sinα)⋅(cosα,sinα-3)=0  (2分)

则sinα+cosα=…(4分)

则平方得2sinαcosα=sin2α=-  …(6分)

(2)由丨+丨=,α∈(0,π),平方得cosα=,所以sinα=

即C(),

的夹角为θ,

则cosθ===

所以θ=

的夹角为

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简答题

在平面直角坐标系xOy中,已知四边形OABC是平行四边形,且点A(4,0),C(1,).

(1)求∠ABC的大小;

(2)设点M是OA的中点,点P在线段BC上运动

(包括端点),求的取值范围.

正确答案

(1)由题意得=(4,0),=(1,),

因为四边形OABC是平行四边形,

所以cos∠ABC=cos∠AOC===

于是∠ABC=

(2)设P(t,),其中1≤t≤5.

于是=(t,),而=(2,0)-(1,)=(1,-),

所以=(t,)•(1,-)=t-3.

的取值范围是[-2,2].

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简答题

(1)已知A(1,2),B(3,5),C(9,14)求证:A,B,C三点共线.

(2)||=2,||=3,(-2)•(2+)=-1,求的夹角.

正确答案

证明(1):由题意可得,=(2,3),=(6,9)=3

共线

有公共点A

∴A,B,C三点共线

解(2):∵||=2,||=3,

∴(-2)•(2+)=2

a

2-3-2

b

2

=-10-3=-1

=-3

cos<>===-

∴<>=

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简答题

设平面向量=(3,5),=(-2,1)

(1)求|-2|的值;

(2)若=-(),求向量的夹角的余弦值.

正确答案

(1)因为向量=(3,5),=(-2,1),

所以-2=(7,3).

所以|-2|==

(2)因为向量=(3,5),=(-2,1),=3×(-2)+5×1=-1,

=+=(1,6),

向量的夹角为θ,cosθ==

下一知识点 : 平面向量的综合应用
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