- 数量积表示两个向量的夹角
- 共583题
已知向量,
满足|
|=
,
=(1,-3),且(2
+
)⊥
(1)求向量的坐标;
(2)求向量与
的夹角.
正确答案
(1)设=(x,y)
因为 ||=
则
=
-------①
又∵已知=(1,-3),且(2
+
)⊥
2+
=2(x,y)+(1,-3)=(2x+1,2y-3)
∴(2x+1,2y-3)•(1,-3)=2x+1+(2y-3)×(-3)=0-------②
由①②解得 或
∴=(1,2)或
=(-2,1)
(2)设向量与
的夹角θ
∵cosθ=-
∴cosθ==
=-
-
或cosθ==
=-
∵0≤θ≤π
∴向量与
的夹角θ=
已知A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),O为原点.
(1)若⊥
,求sin2α的值;
(2)若丨+
丨=
,α∈(0,π),求
与
的夹角.
正确答案
(1)因为A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),
所以=(cosα-3,sinα),
=(cosα,sinα-3),
因⊥
,所以(cosα-3,sinα)⋅(cosα,sinα-3)=0 (2分)
则sinα+cosα=…(4分)
则平方得2sinαcosα=sin2α=- …(6分)
(2)由丨+
丨=
,α∈(0,π),平方得cosα=
,所以sinα=
.
即C(,
),
设与
的夹角为θ,
则cosθ==
=
.
所以θ=.
即与
的夹角为
.
在平面直角坐标系xOy中,已知四边形OABC是平行四边形,且点A(4,0),C(1,).
(1)求∠ABC的大小;
(2)设点M是OA的中点,点P在线段BC上运动
(包括端点),求•
的取值范围.
正确答案
(1)由题意得=(4,0),
=(1,
),
因为四边形OABC是平行四边形,
所以cos∠ABC=cos∠AOC==
=
.
于是∠ABC=.
(2)设P(t,),其中1≤t≤5.
于是=(t,
),而
=(2,0)-(1,
)=(1,-
),
所以•
=(t,
)•(1,-
)=t-3.
故•
的取值范围是[-2,2].
(1)已知A(1,2),B(3,5),C(9,14)求证:A,B,C三点共线.
(2)||=2,|
|=3,(
-2
)•(2
+
)=-1,求
与
的夹角.
正确答案
证明(1):由题意可得,=(2,3),
=(6,9)=3
∴与
共线
∵,
有公共点A
∴A,B,C三点共线
解(2):∵||=2,|
|=3,
∴(-2
)•(2
+
)=2
a
2-3•
-2
b
2
=-10-3•
=-1
∴•
=-3
cos<,
>=
=
=-
∴<,
>=
设平面向量=(3,5),
=(-2,1)
(1)求|-2
|的值;
(2)若=
-(
•
)
,求向量
与
的夹角的余弦值.
正确答案
(1)因为向量=(3,5),
=(-2,1),
所以-2
=(7,3).
所以|-2
|=
=
.
(2)因为向量=(3,5),
=(-2,1),
•
=3×(-2)+5×1=-1,
∴=
+
=(1,6),
向量与
的夹角为θ,cosθ=
=
.
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