- 数量积表示两个向量的夹角
- 共583题
在平面直角坐标系xOy中,点A(0,2),B(-1,-1),C(2,3).
(Ⅰ)求∠BAC的大小;
(Ⅱ)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长.
正确答案
(Ⅰ)∵=(-1,-3),
=(2,1),
∴cos∠BAC==
=
=-
,
故∠BAC=135°.
(Ⅱ)以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长为|+
|=|(-1,-3)+(2,1)|
=|(1,-2)|=.
已知向量=(1,1),向量
与向量
的夹角为
,且
•
=-1.
(1)求向量;
(2)设向量=(1,0),向量
=(cosx,sinx),其中x∈R,若
•
=0,试求|
+
|的取值范围.
正确答案
(1)设=(x,y),则
,解得
或
所以=(-1,0)或(0,-1)
(2)因为向量=(1,0),
•
=0,所以
=(0,-1)
+
=(cosx,sinx-1)
所以|+
|=
=
因为-1≤sinx≤1,所以0≤|+
|≤2
在平面上给定非零向量,
满足|
|=3,|
|=2,,
,
的夹角为60°.
(1)试计算(-2
)(3
+
)和|2
-3
|的值;
(2)若向量2t+
与向量2
-3t
的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
正确答案
(本小题满分12分)
(1)(-2
)•(
+
)=3
e
12-5
e
1•
e
2-2
e2
2=3
e1
2-5|||
|cos<
,
>-2
e2
2=4
|2-3
|=
=6.(6分)
(2)由题知(2t+
)(2
-3t
)<0且2t
+
与2
-3t
不共线.
即6t2-4t-1>0,解得t>或t<
. (12分)
设平面内的向量=(-1,-3),
=(5,3),
=(2,2),点P在直线OM上,且
•
=16.
(Ⅰ)求的坐标;
(Ⅱ)求∠APB的余弦值;
(Ⅲ)设t∈R,求|+t
|的最小值.
正确答案
(Ⅰ)设=(x,y).
由点P在直线OM上,可知与
共线.
而=(2,2),
所以2x-2y=0,即x=y,有=(x,x).
由=
-
=(-1-x,-3-x),
=
-
=(5-x,3-x),
所以•
=(-1-x)(5-x)+(-3-x)(3-x),
即•
=2x2-4x-14.
又•
=16,所以2x2-4x-14=16.
可得x=5或-3.
所以=(5,5)或(-3,-3).…(4分)
当=(5,5)时,
=(-6,-8),
=(0,-2)满足
•
=16,
当=(3,3)时,
=(-4,-6),
=(2,0)不满足
•
=16,
所以=(5,5)
(Ⅱ)由=(-6,-8),
=(0,-2),
可得||=10,|
|=2.
又•
=16.
所以cos∠APB==
=
.…(8分)
(Ⅲ)+t
=(-1+5t,-3+5t),|
+t
|=
.
当t=时,|
+t
|的最小值是
. …(12分)
已知向量+3
垂直于向量7
-5
,向量
-4
垂直于向量7
-2
,求向量
与
的夹角.
正确答案
由题意可得,,
即 整理可得,2
•
=
2,代入可得
a
2=2
∴cosα==
=
∵0°≤α≤180° 所以与
的夹角为600.
∵=
=
∴=
∴sinB+sinC=2sinA
且cosA==
=
=
-1=
-1
又bc≤()2=100∴cosA≥
-1=
又0<A<π∴0<A≤
∴sinB+sinC≤
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