- 数量积表示两个向量的夹角
- 共583题
已知=(1,2),
=(x,1),分别求x的值使
①(2+
)⊥(
-2
);
②(2+
)∥(
-2
);
③与
的夹角是60°.
正确答案
∵=(1,2),
=(x,1),
∴2+
=(2+x,5),
-2
=(1-2x,0);
①∵(2+
)⊥(
-2
);
∴(2+
)•(
-2
)=0即(2+x)(1-2x)=0
解得x=-2或
②∵(2+
)∥(
-2
);
∴(2+x)×0-5(1-2x)=0解得x=
③∵与
的夹角是60°
∴cos60°==
=
解得x=8±5
已知向量a=(1,2),b=(-4,3).
(1)求向量a,b的夹角的余弦值;
(2)k为何值时,向量ka+b与a-3b平行?
(3)k为何值时,向量ka+b与a-3b垂直?
正确答案
(1)因为=(1,2),
=(-4,3)
所以•
=1×(-4)+2×3=2,|
|=
,|
|=5
所以cos<,
>=
=
(2)-3
=(13,-7),k
+
=(k-4,2k+3)
据题意得到
13(2k+3)=-7(k-4)
解得k=-
(3)要使(-3
)⊥(k
+
)
需13(k-4)-7(2k+3)=0
解得k=
已知=2
-3
,
=2
+
,|
|=|
|=1,
与
的夹角为60°,求
与
的夹角.
正确答案
设 和
的夹角等于α,
∵•
= ( 2
-3
)•(2
+
)=
•
+2|
|2-6|
|2=-
,
||=
=
,|
|=
=
,
所以,cosα==-
,所以 α=120°.
已知长度相等的三个非零向量,
、
,满足
+
+
=
,求每两个向量之间的夹角.
正确答案
设,
的夹角为θ
∵+
+
=
∴+
= -
∴
a
2+
b
2+2•
=
c
2
即|
a
|2+ |
b
|2 +2|||
|cosθ=|
c
|2
∵三向量的长度相等
cosθ=-
∴θ=120°
即,
的夹角为120°
同理每两个向量之间的夹角都是120°
平面直角坐标系有点P(1,cosx),Q(cosx,1),x∈[-,
];
(1)求向量和
的夹角θ的余弦用x表示的函数f(x);
(2)求cosθ的最值.
正确答案
(1)∵P(1,cosx),Q(cosx,1),
∴=(1,cosx),
=(cosx,1)
∴•
=2cosx,|
||
|=1+cos2x
∴cosθ==
=f(x)
(2)f(x)=cosθ==
=
且x∈[-
,
]
∴cosθ∈[,1]
令g(x)=x+
设x1,x2∈[,1],且x1<x2
∵g′(x)=1-<0在[
,1]上恒成立(此处也可以利用单调性的定义判断)
∴g(x)=x+在[
,1]上是减函数.
∴2≤cosx+≤
∴≤f(x)≤1 即
≤cosθ≤1
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