· 平面向量的数量积

· 数量积表示两个向量的夹角

数量积表示两个向量的夹角
共583题

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题型：简答题

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简答题

已知=（1，2），=（x，1），分别求x的值使

①（2+）⊥（-2）；

②（2+）∥（-2）；

③与的夹角是60°．

正确答案

∵=（1，2），=（x，1），

∴2+=（2+x，5），-2=（1-2x，0）；

①∵（2+）⊥（-2）；

∴（2+）•（-2）=0即（2+x）（1-2x）=0

解得x=-2或

②∵（2+）∥（-2）；

∴（2+x）×0-5（1-2x）=0解得x=

③∵与的夹角是60°

∴cos60°===

解得x=8±5

1

题型：简答题

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简答题

已知向量a=（1，2），b=（-4，3）．

（1）求向量a，b的夹角的余弦值；

（2）k为何值时，向量ka+b与a-3b平行？

（3）k为何值时，向量ka+b与a-3b垂直？

正确答案

（1）因为=(1，2)，=(-4，3)

所以•=1×(-4)+2×3=2，||=，||=5

所以cos＜，＞==

（2）-3=(13，-7)，k+=(k-4，2k+3)

据题意得到

13（2k+3）=-7（k-4）

解得k=-

（3）要使(-3)⊥(k+)

需13（k-4）-7（2k+3）=0

解得k=

1

题型：简答题

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简答题

已知=2-3，=2+，||=||=1，与的夹角为60°，求与的夹角．

正确答案

设和的夹角等于α，

∵•= ( 2-3)•(2+)=•+2||2-6||2=-，

||= =，||==，

所以，cosα==-，所以 α=120°．

1

题型：简答题

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简答题

已知长度相等的三个非零向量，、，满足++=，求每两个向量之间的夹角．

正确答案

设，的夹角为θ

∵++=

∴+= -

∴

a

2+

b

2+2•=

c

2

即|

a

|2+ |

b

|2 +2||||cosθ=|

c

|2

∵三向量的长度相等

cosθ=-

∴θ=120°

即，的夹角为120°

同理每两个向量之间的夹角都是120°

1

题型：简答题

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简答题

平面直角坐标系有点P（1，cosx），Q（cosx，1），x∈[-，]；

（1）求向量和的夹角θ的余弦用x表示的函数f（x）；

（2）求cosθ的最值．

正确答案

（1）∵P（1，cosx），Q（cosx，1），

∴=（1，cosx），=（cosx，1）

∴•=2cosx，||||=1+cos2x

∴cosθ===f（x）　

（2）f（x）=cosθ===且x∈[-，]

∴cosθ∈[，1]　

令g（x）=x+

设x1，x2∈[，1]，且x1＜x2

∵g′(x)=1-＜0在[，1]上恒成立（此处也可以利用单调性的定义判断）

∴g（x）=x+在[，1]上是减函数．

∴2≤cosx+≤

∴≤f(x)≤1　即≤cosθ≤1

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