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题型:填空题
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填空题

已知向量满足||=2,|-|=1,则向量的夹角的取值范围是______.

正确答案

将|-|=1平方,得|

a

|2-2 ||• || cosθ+|

b

|2=1,化简整理得3 -4 || cosθ+|

b

|2=0,

所以cosθ==.当且仅当||=时取等号.

因为θ∈[0,π],根据余弦函数单调性,可知θ∈[0,]

故答案为:[0,].

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题型:简答题
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简答题

已知向量的夹角为60°,||=4,(+2)•(-3)=-72,求向量的模.

正确答案

∵(+2)•(- 3)=

a

2--6

b

2=-72;

∴|

a

|2-||||cos60°-6|

b

|2=-72,

a

2-2-24=0

(||-6)(||+4)=0,

∴||=6

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题型:填空题
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填空题

为两非零向量,且满足||+||=2,2=22,则两向量的夹角的最小值为______.

正确答案

设两向量的夹角为θ,||=t(t>0)

∵||+||=2,则||=2-t

∵2=22

∴2||||cosθ=||2||2

∴cosθ==(t>0)

设f(t)=(t>0),根据二次函数的性质可知,当t=1,f(t)有最大值

∴cosθ≤

∴θ≥即最小值为

故答案为:

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题型:填空题
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填空题

已知平面向量=(1,2),=(-1,3),夹角的余弦值为 ______.

正确答案

夹角为θ,

由两个向量的夹角公式得cosθ===

故答案为

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题型:简答题
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简答题

已知向量=(1,2),=(-2,x).

(Ⅰ)当x=-1时,求向量的夹角的余弦值;

(Ⅱ)当⊥(4+)时,求||.

正确答案

(Ⅰ)∵x=-1,∴a•b=1×(-2)+2×(-1)=-4,||=,||=

∴向量a与向量b的夹角的余弦值为

cosθ==-(4分)

(Ⅱ)当⊥(4+),•(4+)=0.

时依题意4+=(2,8+x),∴•(4+)=0.

∴2+16+2x=0.∴x=-9.∴b=(-2,-9).

∴|b|==.(9分)

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