· 平面向量的数量积

· 数量积表示两个向量的夹角

数量积表示两个向量的夹角
共583题

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1

题型：填空题

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填空题

已知向量，满足||=2，|-|=1，则向量，的夹角的取值范围是______．

正确答案

将|-|=1平方，得|

a

|2-2 ||• || cosθ+|

b

|2=1，化简整理得3 -4 || cosθ+|

b

|2=0，

所以cosθ=≥=．当且仅当||=时取等号．

因为θ∈[0，π]，根据余弦函数单调性，可知θ∈[0，]

故答案为：[0，]．

1

题型：简答题

|

简答题

已知向量与的夹角为60°，||=4，（+2）•（-3）=-72，求向量的模．

正确答案

∵（+2）•(- 3)=

a

2-•-6

b

2=-72；

∴|

a

|2-||||cos60°-6|

b

|2=-72，

a

2-2-24=0

（||-6）（||+4）=0，

∴||=6

1

题型：填空题

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填空题

设、为两非零向量，且满足||+||=2，2•=2•2，则两向量、的夹角的最小值为______．

正确答案

设两向量、的夹角为θ，||=t（t＞0）

∵||+||=2，则||=2-t

∵2•=2•2，

∴2||||cosθ=||2||2

∴cosθ==（t＞0）

设f（t）=（t＞0），根据二次函数的性质可知，当t=1，f（t）有最大值

∴cosθ≤

∴θ≥即最小值为

故答案为：

1

题型：填空题

|

填空题

已知平面向量=(1，2)，=(-1，3)，与夹角的余弦值为 ______．

正确答案

设与夹角为θ，

由两个向量的夹角公式得cosθ===，

故答案为．

1

题型：简答题

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简答题

已知向量=（1，2），=（-2，x）．

（Ⅰ）当x=-1时，求向量与的夹角的余弦值；

（Ⅱ）当⊥（4+）时，求||．

正确答案

（Ⅰ）∵x=-1，∴a•b=1×（-2）+2×（-1）=-4，||=，||=．

∴向量a与向量b的夹角的余弦值为

cosθ==-（4分）

（Ⅱ）当⊥（4+），•（4+）=0．

时依题意4+=（2，8+x），∴•（4+）=0．

∴2+16+2x=0．∴x=-9．∴b=（-2，-9）．

∴|b|==．（9分）

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