- 数量积表示两个向量的夹角
- 共583题
已知向量,
满足|
|=2,|
-
|=1,则向量
,
的夹角的取值范围是______.
正确答案
将|-
|=1平方,得|
a
|2-2 ||• |
| cosθ+|
b
|2=1,化简整理得3 -4 || cosθ+|
b
|2=0,
所以cosθ=≥
=
.当且仅当|
|=
时取等号.
因为θ∈[0,π],根据余弦函数单调性,可知θ∈[0,]
故答案为:[0,].
已知向量与
的夹角为60°,|
|=4,(
+2
)•(
-3
)=-72,求向量
的模.
正确答案
∵(+2
)•(
- 3
)=
a
2-•
-6
b
2=-72;
∴|
a
|2-|||
|cos60°-6|
b
|2=-72,
a
2-2-24=0
(||-6)(|
|+4)=0,
∴||=6
设、
为两非零向量,且满足|
|+|
|=2,2
•
=
2•
2,则两向量
、
的夹角的最小值为______.
正确答案
设两向量、
的夹角为θ,|
|=t(t>0)
∵||+|
|=2,则|
|=2-t
∵2•
=
2•
2,
∴2|||
|cosθ=|
|2|
|2
∴cosθ==
(t>0)
设f(t)=(t>0),根据二次函数的性质可知,当t=1,f(t)有最大值
∴cosθ≤
∴θ≥即最小值为
故答案为:
已知平面向量=(1,2),
=(-1,3),
与
夹角的余弦值为 ______.
正确答案
设与
夹角为θ,
由两个向量的夹角公式得cosθ==
=
,
故答案为 .
已知向量=(1,2),
=(-2,x).
(Ⅰ)当x=-1时,求向量与
的夹角的余弦值;
(Ⅱ)当⊥(4
+
)时,求|
|.
正确答案
(Ⅰ)∵x=-1,∴a•b=1×(-2)+2×(-1)=-4,||=
,|
|=
.
∴向量a与向量b的夹角的余弦值为
cosθ==-
(4分)
(Ⅱ)当⊥(4
+
),
•(4
+
)=0.
时依题意4+
=(2,8+x),∴
•(4
+
)=0.
∴2+16+2x=0.∴x=-9.∴b=(-2,-9).
∴|b|==
.(9分)
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