· 平面向量的数量积

· 数量积表示两个向量的夹角

数量积表示两个向量的夹角
共583题

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1

题型：填空题

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填空题

若||=2||≠0，=+，且⊥，则向量与的夹角为______．

正确答案

设，的夹角为θ

∵⊥

∴•=0

∴（+）•=0即2+•=0

∴||2+|||||cosθ=0

∵|=2||≠0

∴1+2cosθ=0

∴cosθ=-

∴θ=

故答案为：

1

题型：简答题

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简答题

平面向量=(3，-4)，=(2，x)，=(2，y)，已知∥，⊥，求和的坐标及与夹角．

正确答案

由∥得

3x+8=0⇒x=-（3分）

由⊥得

6-4y=0⇒y=（6分）

∴=(2，-)，=(2，)（8分）

设与的夹角为θ，

则cosθ===0（10分）

又0°≤θ≤180°（11分）

∴θ=90°（12分）

1

题型：简答题

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简答题

已知向量=(1，)，=（-2，0）．

（Ⅰ）求向量-的坐标以及-与的夹角；

（Ⅱ）当t∈[-1，1]时，求|-t|的取值范围．

正确答案

（Ⅰ） -=（1，）-（-2，0 ）=（ 3，），设- 与的夹角为 θ，

则 cos＜-，＞===-．

根据题意得 0≤θ≤π，∴θ=．

（Ⅱ）当t∈[-1，1]时，-t •=（1+2t，），

∴|-t •|== 在[-1，-]上单调递减，在[-，1]单调递增，

∴t=- 时，|-t •|有最小值，t=1时，|-t •|有最大值 2，

故|-t •|的取值范围[，2]．

1

题型：填空题

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填空题

已知向量=（-2，-1）=（t，1），且与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______．

正确答案

若与的夹角为钝角，则它们数量积小于0 且两向量不为反向向量．

由•=（-2，-1）•（t，1）=-2t-1＜0，得t＞-，若为反向向量，则= λ（λ＜0）∴解得∴t≠2．

所以实数t的取值范围是 t＞-，且t≠2，即t∈(-，2)∪(2，+∞)

故答案为：(-，2)∪(2，+∞)．

1

题型：简答题

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简答题

已知向量，满足=(x，2)，=(1，-3)，且（2+）⊥．

（1）求向量的坐标；

（2）求向量与的夹角．

正确答案

（1）∵=(x，2)，=(1，3)，∴2+=2(x，2)+(1，-3)=(2x+1，1)．

又∵（2+）⊥，∴（2x+1，1）•（1，-3）=2x+1+1×（-3）=0

解得x=1，∴=(1，2)；

（2）设向量与的夹角为θ，∵cosθ=

∴cosθ===-

∵0≤θ≤π，∴向量与的夹角θ=．

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