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1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

定义域为的四个函数,,,中,奇函数的个数是(    )

A4

B3

C2

D1

正确答案

C

解析

C;考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为,故选C

知识点

不等式的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 10 分

已知实数x,y满足:求证:

正确答案

见解析

解析

证明:∵

由题设。∴。  

知识点

不等式的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数f(x)=ex,x∈R.

(1)若直线y=kx+1与f(x)的反函数的图像相切,求实数k的值;

(2)设x>0,讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数;

(3)设a<b,比较的大小,并说明理由。

正确答案

(1) ;(2) 若0<m<,曲线y=f(x)与y=mx2没有公共点;若,曲线y=f(x)与y=mx2有一个公共点;若,曲线y=f(x)与y=mx2有两个公共点,(3) 

解析

(1)f(x)的反函数为g(x)=ln x.

设直线y=kx+1与g(x)=ln x的图像在P(x0,y0)处相切,

则有y0=kx0+1=ln x0,k=g′(x0)=

解得x0=e2.

(2)

曲线y=ex与y=mx2的公共点个数等于曲线与y=m的公共点个数。

,则

∴φ′(2)=0.

当x∈(0,2)时,φ′(x)<0,φ(x)在(0,2)上单调递减;

当x∈(2,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)在(2,+∞)上单调递增,

∴φ(x)在(0,+∞)上的最小值为.

当0<m<时,曲线与y=m无公共点;

时,曲线与y=m恰有一个公共点;

时,在区间(0,2)内存在,使得φ(x1)>m,在(2,+∞)内存在x2=me2,使得φ(x2)>m.由φ(x)的单调性知,曲线与y=m在(0,+∞)上恰有两个公共点。

综上所述,当x>0时,

若0<m<,曲线y=f(x)与y=mx2没有公共点;

,曲线y=f(x)与y=mx2有一个公共点;

,曲线y=f(x)与y=mx2有两个公共点。

(3)解法一:可以证明.

事实上,

(b>a),(*)

(x≥0),

(仅当x=0时等号成立),

∴ψ(x)在[0,+∞)上单调递增,

∴x>0时,ψ(x)>ψ(0)=0.

令x=b-a,即得(*)式,结论得证。

解法二:

[(b-a)eb-a+(b-a)-2eb-a+2],

设函数u(x)=xex+x-2ex+2(x≥0),

则u′(x)=ex+xex+1-2ex

令h(x)=u′(x),则h′(x)=ex+ex+xex-2ex=xex≥0(仅当x=0时等号成立),

∴u′(x)单调递增,

∴当x>0时,u′(x)>u′(0)=0,

∴u(x)单调递增。

当x>0时,u(x)>u(0)=0.

令x=b-a,则得(b-a)eb-a+(b-a)-2eb-a+2>0,

因此,

知识点

反函数函数零点的判断和求解导数的几何意义不等式的性质
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

不等式的解集为(    )。

A

B

C

D

正确答案

B

解析

得:.选B.

知识点

不等式的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 7 分

设不等式的解集为,且

(1)求的值;

(2)求函数的最小值。

本小题主要考查绝对猪不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,满分7分。

正确答案

(1)1; (2)3

解析

(1)因为,且,所以,且

解得,又因为,所以

(2)因为

当且仅当,即时取得等号,所以的最小值为

知识点

不等式的性质
下一知识点 : 不等式的应用
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