- 等差数列的判断与证明
- 共87题
8.已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+a22=3,S5=10,则a9的值是 .
正确答案
20
知识点
已知{an}是等差数列,{bn}是等差数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.
正确答案
解:(I)等比数列的公比
,
所以,
.
设等差数列的公差为
.
因为,
,
所以,即
.
所以(
,
,
,
).
(II)由(I)知,,
.
因此.
从而数列的前
项和
.
知识点
17.(本小题满分12分) 已知数列中,
,其前
项的和为
,且满足
.
(I) 求证:数列是等差数列;
(II) 证明:当时,
.
正确答案
(1)见解析;(2)见解析。
解析
试题分析:本题属于等差数列以及等差数列的性质,数列的通项公式和前n项和的关系,(1)根据题意直接利用通项公式和前n项和的关系来证明;(2)利用放缩法来证明。
考查方向
解题思路
本题考查等差数列以及等差数列的性质,数列的通项公式和前n项和的关系,解题步骤如下:(1)根据题意直接利用通项公式和前n项和的关系来证明;(2)利用放缩法来证明。
易错点
找不到通项公式和前n项和的关系。
知识点
4.已知数列的前项和为
,若
,则
( )
正确答案
解析
因为,
,所以
,
,即
,所以
,所以
是首项为4,公比为2的等比数列,所以
,所以选A。
考查方向
解题思路
根据通项和前n项和的关系和已知条件求解
易错点
找不出前n项和和数列通项的关系
知识点
7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若数列{an}是单调递增数列,且满足a5≤6,S3≥9,则a6的取值范围是( )
正确答案
解析
解:∵数列{an}是单调递增数列,
若a5≤6,S3≥9,
∴a1+4d≤6 ①
3a1+3d≥9,即a1+d≥3 ②
∴(-1)×①+②,得
0<d≤1,
∴a6=a5+d,
∴3<a6=a5+d≤7
故选:D.
考查方向
解题思路
给出两个前n项和,写出求前n项和的公式,根据不等式的基本性质和等差数列的性质整理出结果.
易错点
隐含条件的挖掘。
知识点
16.已知△ABC中,角A、B、C成等差数列,且△ABC的面积为
,则AC边的最小值 .
正确答案
2
解析
∵A、B、C成等差数列,∴,又
,∴
,
由得
,∵
,
及,∴
,
,∴b的最小值为2.
考查方向
解题思路
先根据角A、B、C成等差数列求出;利用三角形的面积公式求出
,然后利用余弦定理表示出b后利用基本不等式求出最值。
易错点
不会将角A、B、C成等差数列转化得到角B的大小;求三角形的面积时不会利用基本不等式求最值。
知识点
16.已知数列为等差数列,其前
项和为
,若
,
,
,则
= .
正确答案
6
解析
由题意可知,两式相减可以解得公差d
=1,然后利用等差数列的前n项和公式即可解得k=6.
考查方向
解题思路
本题考查等差数列的前n项和的性质,利用性质构造一个方程组即可解出来。
知识点
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