热门试卷

（1）由|a|2＝＋sin2x＝4sin2x，

|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，

及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.

又x∈，从而sin x＝.

所以.

（2）f(x)＝a·b＝·cos x＋sin2x

.

当时，取最大值1.

所以f(x)的最大值为.

（1）当时，曲线的轨迹是焦点在轴上的双曲线；……（1分）

当时，曲线的轨迹是两条平行的直线和；……（1分）

当时，曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆；  …………（1分）

当时，曲线的轨迹是圆；           …………（1分）

当时，曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆。      …………（1分）

（2）由，得……① …………（2分）

因为，所以方程①为一元二次方程，△，所以直线与曲线必有两个交点。       …………（1分）

设，，则，为方程①的两根，所以

，，  …………（1分）所以

，……（2分）

，解得或。  （2分）因此曲线的方程为或（1分）

（1）由题意得：双曲线焦点在x轴上，且c=2

由双曲线定义得：

=2

∴

∴双曲线的标准方程为

（2）根据双曲线的标准方程得：点A的坐标为（1,0）

∴直线AP的斜率为

∵直线l平行于直线AP

∴设直线l的方程为，与双曲线交于点

联立方程          将（1）代入（2），整理得：

所以      

因为直线 l 与双曲线有两个交点，

所以  (6 b)2－4×6×(b 2＋3)＞0，

解得  b＜－ 或 b＞，即 b 的取值范围是 { b | b＜－ 或 b＞}。

∴,根据b的取值范围，将舍掉

所以，所求的直线方程为：

（1）

以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则

则

即A、C两个救援中心的距离为

（2），所以P在BC线段的垂直平分线上

又，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且

∴双曲线方程为

BC的垂直平分线的方程为

联立两方程解得：

∴∠PAB＝120°

所以P点在A点的北偏西30°处

（1）依题意，得双曲线C的实半轴长为a=1，焦半距为c=2，

所以其虚半轴长，

又其焦点在x轴上，所以双曲线C的标准方程为.

（2）设A、B的坐标分别为、，则

两式相减，得，

因为M（2，1）为AB的中点，所以，

所以，即.

故AB所在直线l的方程为，即.

（3）由已知，得，即，

所以，当且仅当 三点共线时取等号.

因为，

所以，

故的最小值为.

（1）因为椭圆C的离心率，所以，即，（4分）

因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，

所以，所以，，所以椭圆C的方程为，（6分）

（2）(i)当直线的斜率不存在时。

因为直线与圆M相切，故其中的一条切线方程为。

由不妨设，，

则以AB为直径的圆的方程为，（6分）

(ii)当直线的斜率为零时。

因为直线与圆M相切，所以其中的一条切线方程为。

由不妨设，，

则以AB为直径的圆的方程为。

显然以上两圆都经过点O(0，0)，（8分）

(iii)当直线的斜率存在且不为零时。

设直线的方程为。

由消去，得，

所以设，，则，。

所以。

所以，①（11分）

因为直线和圆M相切，所以圆心到直线的距离，

整理，得，  ②

将②代入①，得，显然以AB为直径的圆经过定点O(0，0)

综上可知，以AB为直径的圆过定点(0，0)，（13分）

解析：（1）∵，             ………………………1分

由，得，即

可得                                           ………………………3分

∴的渐近线方程为                        ………………………4分

（2）双曲线的伴随曲线的方程为，设直线的方程为，由与圆相切知  即 

解得            ……………………………6分

当时，设、的坐标分别为、

由  得，即，

∵，=  ∴

∴        ………………………8分

∴

由对称性知，当时，也有        …………………………10分

（3）设，，又、，

∴直线的方程为…………①

直线的方程为…………②         …………………………12分

由①②得                            ……………………………………14分

∵ 在双曲线上

∴    ∴             ……………………………………16分