热门试卷

解:（Ⅰ）因为,所以c=1,则b=1,

所以椭圆C的标准方程为

（Ⅱ）当点P在圆O上运动时,

设（）,则,

所以,,

所以直线OQ的方程为      所以点Q（-2,）

所以,又

所以,即OP⊥PQ,

当，，故直线PQ始终与圆O相切

解（1）依题意，可知，又，所以可知

∴

故所求的椭圆方程为

（2）联立方程消去得

则

解得

设

则，

①  若，则可知，即

∴

可解得

经检验满足条件

所以直线满足题意

② 若，则（或）

联立方程

解得或

Ⅰ．若A（，－） ，则可知－

Ⅱ．若B（－， ） ，则可知

所以也满足题意

综上可知 ，及为所求的直线

另解:②  若，则（或）

联立方程解得

则点（在上,代入解得,所以也满足题意

 或 

（1），

故a2=8+8=16,故椭圆方程为：．

（2）令x=0,得y=3或y=1．故A（0，3）,B（0，1）．

设P（x,y）,则=（-x,3-y）·(-x,1-y)=x2+(3-y)(1-y)= x2+y2-4y+3．

又，故x2=16-2 y2．

所以=16-2 y2+y2-4y+3=-2（y+1）2+21

又，故y=-1时，取最大值21．

（Ⅰ）解：由题设得

解得： ，故的方程为.

（Ⅱ）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，

由直线与圆相切，得   ①

由，

因为直线与椭圆相切，

所以，

得    ②，

所以.

由，可得

  ③

由①②  ④，

将④代入③得，

当且仅当

所以

（I）因为，F2到l的距离，

所以由题设得，

解得，．

由．

（Ⅱ）证明：由，a=2得．

则l的方程为．

故可设．

=（2+，y1），=（2﹣，y2），

由=0知，3×+y1y2=0，

得y1y2=﹣6，所以y1y2≠0，

，||=|y1﹣y2|=|y1+|=|y1|+，

当且仅当时，上式取等号，此时y1=﹣y2．

即M，N两点关于x轴对称．

（I）由椭圆的离心率为，

可得，即a=，

又2a=|AF1|+|AF2|=，

∴a=，c=2，

∴b2=4，

∴椭圆方程为：；

（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，

再设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，

可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0

△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，

，

∵，

∴，

∴，

又y1y2=（kx1+m）（kx2+m）

=

=

=．

∴，

∴﹣（m2﹣4）=m2﹣8k2，即4k2+2=m2，

设原点到直线AB的距离为d，

则

==

==，

∴当直线斜率不存在时，有A（），B（），d=2，

S△OAB=．

即△OAB的面积为定值2．

（I）由已知得：，

解得，

故椭圆方程为：；

（Ⅱ）由（I）知M（0，1），设MA：y=k1x+1，

由得：，

则，所以，

所以A（﹣，），同理可得B（﹣，），

所以=（，），，

所以•﹣===0，

故，所以A、B、N三点共线，即直线AB过定点N（﹣，﹣1）．