圆锥曲线与方程_章节学习

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

若双曲线的一条渐近线过点P(1, 2)，则b的值为_________。

正确答案

4

解析

略

知识点

双曲线的定义及标准方程

1

题型：填空题

|

填空题 · 4 分

已知点是双曲线上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是。

正确答案

解析

略

知识点

双曲线的定义及标准方程

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的标准方程是 .

正确答案

解析

略

知识点

双曲线的定义及标准方程

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

以双曲线的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程为_________.

正确答案

解析

略

知识点

双曲线的定义及标准方程

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

已知双曲线的右焦点恰好是抛物线的焦点，则。

正确答案

3

解析

略

知识点

双曲线的定义及标准方程

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

已知双曲线上一点M到两个焦点的距离分别为20和4，则该双曲线的离心率为______。

正确答案

解析

略

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（　　）

A（1，3]

B（1，3）

C（3，+∞）

D[3，+∞）

正确答案

A

解析

设P点的横坐标为x，根据|PF1|=2|PF2|，P在双曲线右支（x≥a），利用双曲线的第二定义，可得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围。

解：设P点的横坐标为x

∵|PF1|=2|PF2|，P在双曲线右支（x≥a）

根据双曲线的第二定义，可得2e（x﹣）=e（x+）

∴ex=3a

∵x≥a，∴ex≥ea

∴3a≥ea，∴e≤3

∵e＞1，∴1＜e≤3

故选A。

知识点

双曲线的定义及标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知抛物线和双曲线都经过点,它们在x轴上有共同焦点，对称轴是坐标轴，抛物线的定点为坐标原点。.

（1）求抛物线和双曲线标准方程；

（2）已知动直线m过点P(3,0),交抛物线于A，B两点，记以线段AP为直径的圆为圆C，

求证：存在垂直于x轴的直线l被圆C截得的弦长为定值，并求出直线l的方程。

正确答案

见解析。

解析

知识点

双曲线的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：∵双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点

∴双曲线的顶点是，焦点是（±a，0）

设双曲线方程为

∴双曲线的渐近线方程为

∵

∴n=b

∵双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形

∴双曲线的渐近线方程为y=±x

∴m=n

∴a2﹣b2=b2

∴c2=a2﹣c2

∴a2=2c2

∴

故选D。

知识点

双曲线的定义及标准方程

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知抛物线的准线过双曲线的一个顶点，则抛物线的焦点坐标为为 .

正确答案

解析

略

知识点

双曲线的定义及标准方程

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

双曲线=1的渐近线方程是　　。

正确答案

y=±2x

解析

∵双曲线标准方程为=1，

其渐近线方程是=0，

整理得y=±2x。

故答案为y=±2x。

知识点

双曲线的定义及标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

设双曲线的虚轴长为,渐近线方程是，为坐标原点，直线与双曲线相交于、两点，且。

（1）求双曲线的方程；

（2）求点的轨迹方程。

正确答案

见解析

解析

（1）由题意，有，，（3分）

故双曲线的方程为. （6分）

（2）设，直线：与双曲线联立消去，

得由题意，（2分）

且（4分）

又由知

而

所以

化简得①

由可得②

由①②可得（6分）

故点P的轨迹方程是（8分）

知识点

双曲线的定义及标准方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知双曲线的右焦点F（3，0），则此双曲线的离心率为（　　）

A6

B

C

D

正确答案

C

解析

∵双曲线的右焦点F（3，0），

∴c=3，m=a2=32﹣5=4，

∴e==。

故选C。

知识点

双曲线的定义及标准方程

1

题型：简答题

|

简答题 · 16 分

已知点为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程为.

（1）求双曲线的方程；

（2）若双曲线上的点到两条渐近线的距离分别为，求的值；

（3）过圆上任意一点作切线交双曲线于两个不同点，求的值.[来

正确答案

见解析

解析

（1）设的坐标分别为-------------------1分

因为点在双曲线上，所以，即，所以------------2分

在中，，，所以------------3分

由双曲线的定义可知：

故双曲线的方程为：-------------------4分

（2）由条件可知：两条渐近线分别为-------------------5分

设双曲线上的点，

则点到两条渐近线的距离分别为-------------------7分

所以-------------------8分

因为在双曲线：上，所以-------------------9分

故-------------------10分

（3）解一：因为为圆：上任意一点，设

所以切线的方程为：-------------------12分

代入双曲线：

两边除以，得-------------------13分

设，则是上述方程的两个根

由韦达定理知：，即-------------------15分

所以-------------------16分

解二：设，切线的方程为：-------------------12分

①当时，切线的方程代入双曲线中，化简得：

所以：-------------------13分

又

所以-----------15分

②当时，易知上述结论也成立。

所以-------------------16分

知识点

双曲线的定义及标准方程

1

题型：简答题

|

简答题 · 16 分

已知双曲线的中心在原点，是它的一个顶点，是它的一条渐近线的一个方向向量。

（1）求双曲线的方程；

（2）若过点（）任意作一条直线与双曲线交于两点（都不同于点），求的值；

（3）对于双曲线:，为它的右顶点，为双曲线上的两点（都不同于点），且，求证：直线与轴的交点是一个定点.

正确答案

见解析

解析

解析：（1）设双曲线C的方程为，则，…….2分

又，得，所以，双曲线C的方程为. ………….4分

(2) 当直线垂直于轴时，其方程为，的坐标为（,）、（,），

，所以=0. ………………..6分

当直线不与轴垂直时，设此直线方程为，由得

.

设，则, ，……………..8分

故

.……....9分

＋＋=0 。综上，=0. ………………10分

（3）设直线的方程为：，

由，得,

设，则, ，…………12分

由，得，

即,………………14分

，

化简得，或（舍）, ……………………………………….15分

所以，直线过定点（,0）. ………………………………..16分

知识点

双曲线的定义及标准方程

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