利用导数求函数的最值
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· 利用导数求函数的最值

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题型：填空题

填空题 · 20 分

请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中，生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。

正确答案

测试

题型：简答题

简答题 · 12 分

某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元。

（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；

（2）求该容器的建造费用最小时的.

正确答案

见解析。

解析

（1）因为容器的体积为立方米，所以,解得,所以圆柱的侧面积为=,两端两个半球的表面积之和为,所以+,定义域为(0,)。

（2）因为+=,所以令得:; 令得:,所以米时, 该容器的建造费用最小。

知识点

函数解析式的求解及常用方法利用导数求函数的最值

题型：简答题

简答题 · 13 分

设.

（1）如果在处取得最小值，求的解析式；

（2）如果，的单调递减区间的长度是正整数，试求和的值，（注：区间的长度为）

正确答案

（1）（2） m=2，n=3或，

解析

（1）已知，

又在处取极值，

则，又在处取最小值-5.

则

（2）要使单调递减，则

又递减区间长度是正整数，所以两根设做a，b。即有：

b-a为区间长度。又

又b-a为正整数，且m+n<10,所以m=2，n=3或，符合。

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

曲线在点A（0,1）处的切线斜率为（）

正确答案

解析

知识点

利用导数求函数的最值

题型：简答题

简答题 · 16 分

设函数，，其中为实数。

（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；

（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。

正确答案

见解析

解析

（1）≤0在上恒成立，则≥，。

故：≥1。

，

若1≤≤e，则≥0在上恒成立，

此时，在上是单调增函数，无最小值，不合；

若＞e，则在上是单调减函数，在上是单调增函数，，满足。

故的取值范围为：＞e。

（2）≥0在上恒成立，则≤ex，

。

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值

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