- 利用导数求函数的最值
- 共345题
已知f(x)=xlnx,.
(1)当a=2时,求函数y=g(x)在[0,3]上的值域;
(2)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(3)证明:对一切x∈(0,+∞),都有成立
正确答案
见解析。
解析
(1),x∈[0,3]
当x=1时,gmin(x)=g(1)=;当x=3时,
故g(x)值域为
(2) f'(x)=lnx+l,当f'(x)<0,f(x)单调递减,当
,f'(x)>0,f(x)单调递增.
①,t无解;
②,即
时,
③,即
时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt;
所以
(3)g'(x)+1=x,所以问题等价于证明,由(2)可知f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是
,当且仅当
时取到;
设,则
,易得
,当且仅当x=1时取到,从而对一切x∈(0,+∞),都有
成立。
知识点
已知函数。
(1)若在定义域上为增函数,求实数
的取值范围;
(2)求函数在区间
上的最小值。
正确答案
见解析。
解析
(1)因为函数,
所以函数的定义域为
,
且,
若在定义域上是增函数,
则在
上恒成立,
即在
上恒成立,所以
,
由已知,
所以实数的取值范围为
。
(2)①若,由(1)知,函数
在区间
上为增函数。
所以函数在区间
上的最小值为
。
②若,由于
,
所以函数在区间
上为减函数,在区间
上为增函数。
(ⅰ)若,即
时,
,
函数在区间
上为增函数,
所以函数在
的最小值为
,
(ⅱ)若,即
时,
函数在区间
为减函数,在
上为增函数,
所以函数在区间
上的最小值为
,
(ⅲ)若,即
时,
,
函数在区间
上为减函数,
所以函数在
的最小值为
,
综上所述,当且
时,函数
在区间
上的最小值为
。
当时,函数
在区间
的最小值为
。
当时,函数
在区间
上的最小值为
。
知识点
已知函数
(1)若,求
的最大值;
(2)若恒成立,求
的取值范围.
正确答案
见解析。
解析
(1)若,则
,
, -----------1分
∵∴
,∴
在
上为增函数, -----------3分
∴ -----------5分
(2)要使,
恒成立,只需
时,
显然当时,
在
上单增,
∴,不合题意; -----------7分
当时,
,令
,
当时,
,当
时,
-----------8分
①当时,即
时,
在
上为减函数
∴,∴
; -----------9分
②当时,即
时,
在
上为增函数
∴,∴
; -----------10分
③当时,即
时,
在
上单增,
在
上单减
∴
∵,∴
,∴
成立; -----------11分
由①②③可得 ----------13分
知识点
21。某旅游景点预计2013年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位:万人)与x的关系近似地满足.已知第x月的人均消费额q(x)(单位:元)与x的近似关系是
(1)写出2013年第x月的旅游人数(单位:人)与x的函数关系式;
(2)试问2013年第几月旅游消费总额最大,最大月旅游消费总额为多少元?
正确答案
见解析。
解析
(1)当时,
, ……2分
当,且
时,
…4分
验证符合
……6分
(2)第月旅游消费总额为
即 ……8分
当,且
时,
,令
,
解得,
(舍去). 当
时,
,当
时,
,
当
时,
(万元). ……10分
当,且
时,
是减函数,当
时,
(万元),
综上,2013年第5月份的旅游消费总额最大,最大消费总额为3125万元. …12分
知识点
已知函数.
(1)若求函数
上的最大值;
(2)若对任意,有
恒成立,求
的取值范围.
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)当时,
,
........1分
令..................................2分
列表:
∴当时,
最大值为
. ………………………7分
(2)令
① 若单调递减.
单调递增.
所以,在
时取得最小值
,
因为.
…………………..9分
② 若,
所以当……………………………………..10分
③若单调递减.
单调递增.
所以,在
取得最小值
,
令
综上,的取值范围是
.………………………………13分
知识点
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