与长度、角度有关的几何概型
共50题

· 与长度、角度有关的几何概型

与长度、角度有关的几何概型
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题型：填空题

填空题 · 4 分

4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76，则这组数据的中位数是______（米）.

正确答案

1.76

知识点

与长度、角度有关的几何概型

题型：单选题

单选题 · 5 分

某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（　　　）

正确答案

知识点

与长度、角度有关的几何概型

题型：单选题

单选题 · 5 分

8.在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”

的概率，则

正确答案

解析

由题意知，事件“”的概率为，事件“”的概率，其中，，所以，故应选.

考查方向

1、几何概型；2、微积分基本定理；

解题思路

转化为面积有关的几何概型分别计算出概率即可判断。

易错点

不会将其转化为面积有关的几何概型来做。

知识点

随机事件的频率与概率与长度、角度有关的几何概型

题型：单选题

单选题 · 5 分

12．对∈R，n∈[0，2]，向量c＝（2n＋3cosα，n－3sinα）的长度不超过6的概率为

正确答案

解析

考查方向

本题考察了向量的模长的几何意义，圆与圆的位置关系及其判定，考察了几何概型

解题思路

1）由向量可知，

2）向量转化问题变为圆的方程

长度不超过6等价于

3）问题转化为两圆内切或内涵，进而求出n的范围

4）根据几何概型得出结果

易错点

主要易错于几何意义的构建

知识点

向量的模与长度、角度有关的几何概型

题型：单选题

单选题 · 5 分

10．在区间[0,2]上任取两个实数a,b，则函数没有零点的概率是（）

正确答案

解析

在区间[0,2]上任取两个数a,b，对应的平面区域为边长为2的正方形，面积为4，要想使函数在区间内没有零点，则函数的最小值应该大于0，即，作出不等式对应的平面区域如下图，对应的面积，则对应的概率,所以选D

考查方向

几何概型

解题思路

结合二次函数的性质求出函数在区间内没有零点的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论

易错点

数型结合思想掌握不好，几何概型理解不透彻

知识点

函数零点的判断和求解与长度、角度有关的几何概型

题型：单选题

单选题 · 5 分

3.在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为

正确答案

解析

因为直线与圆相交，所以圆心到直线的距离小于半径，圆心为，半径为1，直线方程化为一般式得，由点到直线的距离公式可得，解得，所以概率为，所以应选C选项。

考查方向

本题主要考查几何概型，以及直线和圆的位置关系，几何概型高考经常以小题的形式出现，常与其他知识点结合一起考，难度较大.

解题思路

1)用圆心到直线的距离小于半径，得到的取值范围；

2)用的范围与作商，求出概率；

易错点

本题易将几何概型当成古典概型去做，只取整数点比较.

知识点

直线与圆的位置关系直线和圆的方程的应用与长度、角度有关的几何概型

题型：单选题

单选题 · 5 分

6. 在区间内随机取两个数，则使得“命题‘，不等式恒成立’为真命题”的概率为（）

正确答案

解析

命题“，不等式恒成立”为真命题,则有,所以概率为(4-) ，所以选D。

考查方向

本小题考查几何概型

解题思路

由命题为真命题，可得,如图，可算出概率.

易错点

容易将区域画错

知识点

充要条件的应用与长度、角度有关的几何概型

题型：填空题

填空题 · 5 分

15．在区间上随机地选择一个数p，则方程有两个负根的概率为________.

正确答案

解析

方程有两个负根的充要条件是即或，又因为，所以使方程有两个负根的p的取值范围为，故所求的概率，故填：.

考查方向

本题考查几何概型，涉及一元二次方程的应用，属于基础题目.

解题思路

本题考查几何概率及一元二次方程实根的分布，首先将方程有两个负根的充要条件找出来，求出的取值范围，再利用几何概率公式求解.

易错点

本题属于中档题，注意运算的准确性

知识点

与长度、角度有关的几何概型

题型：单选题

单选题 · 5 分

8. 在半径为2的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直该直径的弦，则弦长超过圆内接正三角形边长的概率是( )

正确答案

解析

设圆的半径为r,

圆心为O,

AB为圆的一条直径，

CD为垂直于AB的一条弦，垂足为M,

若CD为圆内接正三角形的一条边，则O到CD的距离为r/2，

设EF为与CD平行且到圆心O距离为r/2的弦，

交直径AB于点N,所以当过AB上的点且垂直于AB的弦的长度超过CD时，

该点在线段MN上移动，所以所求概率P=r/2r=1/2，所以选C

考查方向

圆内接正三角形，垂径定理，几何概率

解题思路

找到弦长于圆内接正三角形边长的情况

易错点

找临界值找不到，不能建立等量关系求解

知识点

与长度、角度有关的几何概型

题型：简答题

简答题 · 12 分

17.已知，动点

（1）若的概率；

（2）若的概率.

正确答案

（1）；

（2）.

解析

本题属于利用古典概型、几何概型求概率问题，掌握相关知识点，即可解决问题，解析如下：

解：（1）设为事件,

所以所有的所有可能点的集合列表表示为

为个基本事件

所在直线的方程为,

即

设到的距离为,,

所以到的距离为

所以

即可即,也即

即可上面基本事件中,

符合的所有点的集合为共个基本事件,

所以(Ⅱ) 可作出所有表示的线形区域

如右图,

所以所在直线的方程到直线的距离恰等于的所有点在与平行的直线上,

设为,根据两平行线的距离公式

解得或(舍去)所以符合要求的点的区域为和及的公共区域

可解得与的交点为其面积为

所以,由几何概型可知:

考查方向

本题考查了古典概型、几何概型与直线方程等方面的知识。

易错点

基本时间空间求错导致出错。

知识点

古典概型的概率与长度、角度有关的几何概型

棒棒哒，已学完当前知识点学习下一知识点

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