- 几何概型及其概率计算公式
- 共1904题
（2015秋•株洲月考）在棱长为2的正方体中随机取一点，该点落在这个正方体的内切球内的概率是______．
正确答案
解析
解：根据题意，棱长为2的正方体，其体积为8，
而其内切球的直径就是正方体的棱长，所以球的半径为1，体积为
由几何概型的概率公式得到这一点在球内的概率为
故答案为：
已知函数f（x）=x2-2ax+b2，a，b∈R．若a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数，求方程f（x）=0没有实根的概率．
正确答案
解：
设“方程没有实根”为事件B，则事件B构成的区域为M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a＜b}，
即图中阴影部分的梯形，梯形的面积为 
故方程f（x）=0没有实根的概率为 
解析
解：
设“方程没有实根”为事件B，则事件B构成的区域为M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a＜b}，
即图中阴影部分的梯形，梯形的面积为
故方程f（x）=0没有实根的概率为
若函数y=f（x）（x∈D）同时满足下列条件：
（1）f（x）在D内为单调函数；
（2）f（x）的值域为D的子集，则称此函数为D内的“保值函数”．
已知函数f（x）=
①当a=2时，f（x）=
②当-1≤a≤1，且a≠0，-1≤b≤1时，g（x）=ax2+b是[0，1]内的“保值函数”的概率为______．
正确答案
2
解析
解：①，根据题意，a=2，则f（x）=
f′（x）=2x＞0，则f（x）在[0，+∞）为增函数，
故f（x）的最小值为f（0）=
又由f（x）在[0，+∞）是“保值函数”，
则有
故b的最小值为2．
②，根据题意，-1≤a≤1，且a≠0，-1≤b≤1，
则a、b确定的区域为边长为2的正方形，其面积为4；
对于f（x），有f′（x）=2ax，x∈[0，1]，
当-1≤a＜0时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
则f（x）的最大值为f（0）=b，最小值为f（1）=a+b，则f（x）的值域为[a+b，a]，
若f（x）为保值函数，则有
其表示的区域为阴影三角形A，面积为
当0＜a≤1时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
则f（x）的最小值为f（0）=b，最大值为f（1）=a+b，则f（x）的值域为[a，a+b]，
若f（x）为保值函数，则有
其表示的区域为阴影三角形B，面积为
f（x）为保值函数对应区域的面积为1；
则f（x）为保值函数的概率为
故答案为①2，②
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，在四边形ABC1D1内随机取一点M，则∠AMB≥90°的概率为______，∠AMB≥135°的概率为______．
正确答案
解析
以AB为直径圆内的区域为满足∠AMB＞90°的区域，半圆的面积为
四边形ABC1D1的面积为4
∴满足∠AMB≥90°的概率为
以AB为底边，向正方形外作顶角为90°的等腰三角形，以等腰三角形的顶点O为圆心，OA为半径作圆，
根据圆周角相关定理，弧AB所对的圆周角为135°．即当M取圆O与ABCD的公共部分（弓形），∠AMB必大于135°
其中AB=2，OA=
故所求的概率为：
故答案为：
Aπ
B
C
D2π
正确答案
解析
解：根据题意可得此问题是几何概型，
因为半圆的半径为1，所以其面积为：
因为正方形的边长为
所以该点落在正方形内的概率为：
故选C．
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