热门试卷

（Ⅰ）略；（Ⅱ）；（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）中主要利用线线垂直可证线面垂直；（Ⅱ）中通过作平行线转化到三角形内解角；当然也可建系利用空间向量来解；（Ⅲ）中利用等体积法可求，亦可用空间向量来解.

试题解析：（Ⅰ）证明：连结OC

在中，由已知可得而

   即

          平面      4分

（Ⅱ）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC

直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

在中，

是直角斜边AC上的中线，

       8分

（Ⅲ）解：设点E到平面ACD的距离为确规定

在中，

而

点E到平面ACD的距离为      12分

方法二：（Ⅰ）同方法一.

（Ⅱ）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

异面直线AB与CD所成角的余弦值为

（Ⅲ）解：设平面ACD的法向量为则

令得是平面ACD的一个法向量，   又

点E到平面ACD的距离 

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）直线与平面所成角的余弦值为

本题主要考查立体几何线面平行、直线与平面所成的角和二面角，同时考查空间想象能力和推理论证能力.

（1）利用线面平行的判定定理可以证明该结论。

（2）而线面角的求解可以运用三垂线制作出角，然后借助于直角三角形求解得到结论。

（Ⅰ）解：连结与交于点,连结.

又平面,平面.

平面.

（Ⅱ）解：是二面角的平面角,

,

平面，

取中点,连结,交于点,则,

又侧棱长为

平面，

就是直线与平面所成的角.

又则

故直线与平面所成角的余弦值为

（用等体积法或者空间向量等方法同样给分）

（1）见解析；（2）.

本试题主要考查了立体几何的运用。

解答一（1）证： 三棱柱为直三棱柱，

，在中，,由正弦定理，

,又

（2）

解如图，作交于点D点，连结BD，

由三垂线定理知，为二面角的平面角，

在

解答二（1）证三棱柱为直三棱柱，

，，由正弦定理  

如图，建立空间直角坐标系，则 

(2) 解，如图可取为平面的法向量

设平面的法向量为，

则

不妨取

（Ⅰ）证明：如图，连接，     …………..1分

则四边形为正方形，       …………..2分

，且  

故四边形为平行四边形，…………..3分

，            …………..4分

又平面，平面   ……..5分

平面                 …………..6分

（Ⅱ）为的中点，，又侧面⊥底面，故⊥底面，…………..7分

以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系，则

，…………..8分

，…………..9分

设为平面的一个法向量，由，得，

令，则………..10分

又设为平面的一个法向量，由，得，令

，则，………..11分

则，故所求锐二面角A—C1D1—C的余弦值为 

略

略

（1）见解析（2）见解析.

试题分析：（1）令E为PD的中点，连接AE，NE，根据三角形中位线定理，及中点的定义，我们易判断MN∥AE，结合线面平行的判定定理，即可得到MN∥平面PAD；

（2）根据已知中，四边形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，我们易结合线面垂直的判定定理，得到DC⊥平面PAD，进而得到DC⊥AE，由（1）中AE∥MN，根据两条平行线与同一条直线的夹角相等，即可得到结论．

试题解析：（1）设PD的中点为E，连AE, NE，则易得四边形AMNE是平行四边形，则 MN∥AE ，

，所以  MN∥平面PAD   

（2）∵PA⊥平面ABCD ， CD，∴PA⊥CD   

又AD⊥CD , PA∩DA=A，∴ CD平面PAD ，∵

∴CD⊥AE  ∵MN∥AE   ∴MN⊥DC

（1）详见解析；（2）；（3）

试题分析：（1）连接交于，由线面平行的性质定理可得，,又为的中点，中点。同理可得为的中点，再根据全等证。（2）根据二面角的定义利用垂面法找到二面角，利用三角函数求出即可，详见解析；(3)因为D是的中点，所以到平面的距离等于到平面的距离,再根据求点到面的距离。

试题解析：（1）连接交于,,

,又为的中点，中点，的中点,,D为的中点。

（2）由题意,过A作,连接，则,为二面角的平面角。在中，,

因为在三角形 中，则,所以

(3)因为，所以,

,

在中，，

（1）见解析； 

（2）

本题主要考察线面垂直的证明以及二面角的求法．一般在证明线面垂直时，先转化为证明线线垂直．进而得到线面垂直．

（1）先根据条件得到BD⊥平面AEM；进而通过求边长得到AE⊥ME；即可得到结论；

（2）先建立空间直角坐标系，求出两个半平面的法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式即可．

19.解：如图取BD中点M，连接AM，ME。∵ 

∵， ,

所以是BC为斜边的直角三角形，,                          

∵是的中点,∴ME为的中位线 ，

,                                            

是二面角的平面角= …………………………3分            ,且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线

平面AEM                    

∵,为等腰直角三角形，

                               ………………6分   

（2）如图，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系，

则由（1）及已知条件可知B(1,0,0),，

,D,C,

  …………………8分       

设平面ACD的法向量为 

则 

18.（Ⅰ）证明：在△ABC中，因为 AB=5，AC=4，BC=3，

所以AC2+ BC2= AB2， 所以 AC⊥BC．                      

因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以C C1⊥AC．                  

因为BC∩AC =C，所以 AC⊥平面B B1C1C．     

所以AC⊥B1C．         …………4分

（Ⅱ）证明：连结BC1，交B1C于E，连接DE．

因为直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点，所以侧面B B1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，

所以DE// AC1．因为DE平面B1CD， AC1平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD．........8分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知AC⊥BC，如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A1(0, 4, 4)，B1(3, 0, 4)．

设D (a, b, 0)（，），

因为点D在线段AB上，且，即．

所以，，，, ,．

平面BCD的法向量为．设平面B1 CD的法向量为，

由，，得，

所以，，.所以 ．

所以二面角的余弦值为．……………12分

略