热门试卷

（1）见解析（2）见解析

(1)∵EC∥PD，PD⊂平面PDA，EC⊄平面PDA，

∴EC∥平面PDA，

同理可得BC∥平面PDA.

∵EC⊂平面EBC，BC⊂平面BEC且EC∩BC＝C，

∴平面BEC∥平面PDA.

又∵BE⊂平面BEC，∴BE∥平面PDA.

(2)连接AC，交BD于点F，连接NF，

∵F为BD的中点，

∴NF∥PD且NF＝PD，

又EC∥PD且EC＝PD，

∴NF∥EC且NF＝EC.

∴四边形NFCE为平行四边形，

∴NE∥FC，

∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD，

又DB⊥AC，PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PDB，

∴NE⊥平面PDB.

（Ⅰ）证明见解析

（Ⅱ）二面角的大小为

本试题主要是考查了线线垂直的证明，以及二面角的平面角的求解的综合运用。

（1）利用先棉农垂直的性质定理得到线线垂直的证明即可。

（2）建立空间直角坐标系，然后表示出平面的法向量和法向量的夹角，即为二面角的平面角的求解。

解：（Ⅰ）证明：∵ 面⊥面，，且面面，

∴ 面．

又∵ 面，

∴ ．                                ………6分

（Ⅱ）取的中点，连接,则,有,以为原点建立坐标系如图所示.

设,,则有

,根据已知

,即,解得

根据,

可得平面的法向量，

而平面的法向量，于是

因此，二面角的大小为.          ………12分

见解析.

本试题主要考查了立体几何中三棱锥中关于面面垂直的判定和二面角的求解综合试题，通过线面垂直来判定面面垂直，而二面角的求解可以建立空间直角坐标系，借助于平面的法向量来完成，也可以通过三垂线定理求作二面角，借助于平面的直角三角形求解得到。

解：（Ⅰ）平面SBC⊥平面SAB.理由如下：

因为∠SAB＝∠SAC＝90°，

所以SA⊥AB，SA⊥AC，

所以SA⊥底面ABC.                           ………………………………2分

又BC在平面ABC内，所以SA⊥BC.

又AB⊥BC，所以BC⊥平面SAB.                ………………………………4分

因为BC在平面SBC内，所以平面SBC⊥平面SAB. ………6分

（Ⅱ）作AD⊥SB，垂足为D.

由（Ⅰ）知平面SBC⊥平面SAB，

则有AD⊥平面SBC.                       …………8分

作AE⊥SC，垂足为E，连结DE，

则∠AED为二面角A－SC－B的平面角.   ………10分

设SA＝AB＝2，则SB＝BC ＝，AD＝，

AC＝，SC＝4，可求得AE＝.

所以二面角A－SC－B的平面角的正弦值为.……13分

（1）见解析；（2）（3）.

本试题主要考查了空间想象能力的运用，解决空间中的线面角二面角以及面面垂直的判定定理的运用。

（1）证明：由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC，

∴B1B⊥AC，

又BA⊥AC，B1B∩BA=B，

∴AC⊥平面 ABB1A1，

又AC平面B1AC，

∴平面B1AC⊥平面ABB1A1.                                        

（2）解：过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连结CM，

∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A，

∴A1M⊥平面B1AC.

∴∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，

∵直线B1C与平面ABC成30°角，

∴∠B1CB=30°.

设AB=BB1=a，可得B1C=2a，BC=，

∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为

（3）解：过A做AN⊥BC，垂足为N，过N做NO⊥B1C，垂足为O，连结AO，

由AN⊥BC，可得AN⊥平面BCC1B1，由三垂线定理，可知AO⊥B1C，

∴∠AON为二面角B—B1C—A的平面角，

证明略

 （1）如图所示，取BB1的中点M，易证四边形HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1.

又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1.

（2）取BD的中点O，连接EO，D1O，

则OE  DC，

又D1G DC，∴OE D1G，

∴四边形OEGD1是平行四边形，

∴GE∥D1O.

又D1O平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D.

（3）由（1）知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1平面HB1D1，BF、BD平面BDF，且B1D1∩HD1=D1，

DB∩BF=B，∴平面BDF∥平面B1D1H.

（1）见解析（2）见解析

(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．

又因为E是SA的中点，

所以EF∥AB.

因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.

同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，

所以平面EFG∥平面ABC.

(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.

因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.

又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.

因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.

（I）证明：见解析；（Ⅱ）异面直线与所成角的余弦值为．

本题主要考查线线垂直，线面垂直，面面垂直间的转化以及异面直线所成的角的求法

（I）由矩形ADEF可知ED⊥AD，又因为平面ADEF⊥平面ABCD，得到ED⊥平面ABCD，从而有ED⊥AC．（Ⅱ）由（I）ED⊥平面ABCD，可知∠EDB是直线BE与平面ABCD所成的角，又由AM∥GE，知∠MAC是异面直线GE与AC所成角或其补角然后在△MAC中用余弦定理求解．

（I）证明：在矩形中， 

∵ 平面平面，且平面平面

∴   ∴--------------6分

（Ⅱ）由（I）知：

∴ 是直线与平面所成的角，即-----------8分

设，取，连接   ∵是的中点

∴     ∴ 是异面直线与所成角或其补角--------10分

连接交于点    ∵ ，的中点

∴     ∴

∴ 异面直线与所成角的余弦值为．-------12分

（1）略；（2）

（1）连接与，交点为，则是的中点，又D是棱AB的中点，所以，根据线面平行的判定定理可证出；

（2）由（1）得，所以异面直线AC1与B1C所成的角就是与所成的角或其补角，在中，，，根据余弦定理求出异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.

（1）见解析。（2）。

本试题主要是考查了二面角的求解和线线垂直的判定的综合运用。

（1）利用线面垂直得到线线垂直。

（2）因为过作，连接

可以证明就是二面角C-AE-D的平面角，然后借助于三角形解得。

（2）过作，连接

可以证明就是二面角C-AE-D的平面角

在中，，

所以，。

在中，

即，。