热门试卷

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）在正方体棱上使得的点有12个.

试题分析：（1）求证：平面平面，证明两平面垂直，只需证明一个平面过另一个平面的垂线，注意到本题是一个正方体，因此可证平面即可；（2）求证：平面，证明线面平行，即证线线平行，即在平面内找一条直线与平行，注意到为的中点，为的中点，可连接，，设，连接，证明即可，即证四边形是平行四边形即可；（3）设为正方体棱上一点，给出满足条件的点的个数，由（2）可知，，且，故点符合，有正方体的特征，可知，，故是点到的最短距离，故这样的点就一个，同理在其他棱上各有一个，故可求出满足条件的点的个数．

（1）在正方体中，

因为 平面，平面，

所以平面平面.                                   4分

（2）证明：连接，，设，连接.

因为为正方体，

所以 ，且，且是的中点，

又因为是的中点，

所以 ，且，

所以 ，且，

即四边形是平行四边形，

所以，                                                 6分

又因为 平面，平面，

所以 平面.                                         9分

（3）满足条件的点P有12个.                            12分

理由如下：

因为 为正方体，，

所以 .

所以 .                                      13分

在正方体中，

因为 平面，平面，

所以 ，又因为 ，所以 ， 

则点到棱的距离为，

所以在棱上有且只有一个点（即中点）到点的距离等于，

同理，正方体每条棱的中点到点的距离都等于，

所以在正方体棱上使得的点有12个.     14分

（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析．．

试题分析：（1）要证线面垂直，就是要证与平面内的两条相交直线垂直，如，虽然题中没有给出多少垂直关系，但有线段的长度，实际上在中应用勾股定理就能证明，同理可证，于是可得平面；（2）由于在（1）已经证明了两两垂直，因此解决下面的问题我们可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量法解题.以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，，，，，，，这样我们只要求出平面和平面的法向量，利用法向量的夹角与二面角相等可互补可得所求二面角大小；（3）线段上的点的坐标可写为，这样若有平面，即与（2）中所求平面的法向量垂直，由此可出，若，说明在线段上存在符合题意的点，否则就是不存在.

试题解析：（1）证明：，，

，同理      2分

又，平面.     4分

（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

则       6分

平面的法向量为，

设平面的法向量为                 7分

，由，，取 ，  8分

设二面角的平面角为

，二面角的余弦值为.     10分

（3）假设存在点，使∥平面，

令，      12分

 由∥平面，，解得

存在点为的中点，即．     14分

(1) 30°   (2)

(1)取AB的中点D,连DE,DF,则DF∥A1B,

∴∠DFE(或其补角)即为所求.

由题意易知,DF=,DE=1,AE=,

由DE⊥AB,DE⊥AA1得DE⊥平面ABB1A1,

∴DE⊥DF,即△EDF为直角三角形,

∴tan∠DFE===,∴∠DFE=30°,

即异面直线EF和A1B所成的角为30°.

(2)VA-EFC=VF-AEC=·S△AEC·FA=××××=.

（1）详见解析；⑵详见解析.

试题分析：（1）要证AF//平面BCE就需要在平面BCE内找一条直线与AF平行.

取CE中点P，易证ABPF为平行四边形，从而问题得证.

⑵证面面垂直，首先考虑评点哪条线垂直哪个面.

很容易得，AF⊥CD，故考虑证明AF⊥平面CDE.那么需要在平面CDE内再找一条直线与AF垂直.找哪一条呢？ ∵DE⊥平面ACD， AF平面ACD，∴DE⊥AF，这样便可使问题得证.

试题解析：（1）取CE中点P，连结FP、BP。

∵F为CD的中点，∴FP//DE，且FP=    2分

又AB//DE，且AB=∴AB//FP，且AB=FP，

∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP.

又∵AF平面BCE，BP平面BCE，∴AF//平面BCE.           6分

⑵∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD.

∵DE⊥平面ACD， AF平面ACD，

∴DE⊥AF

又AF⊥CD，CD∩DE=D，

∴AF⊥平面CDE.                          8分

又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。                    10分

又∵BP平面BCE，

∴平面BCE⊥平面CDE.                12分

（1）∵、分别是、的中点，∴∥．         2分

∵底面是矩形，∴∥．∴∥．                 4分

又平面，平面，

∴∥平面．              7分

（2）∵，

∴．                   8分

∵底面是矩形，

．                    10分

又，

∴．          12分

∵，

∴平面．       14分

略

（I）证明见解析。

（II）证明见解析。

证明：（I）E，F分别为AB，BD的中点

。

（II），又，

所以。