热门试卷

(Ⅰ)证明:见解析；(Ⅱ),即求.

试题分析：（Ⅰ）证明AF⊥平面PCD，利用线面垂直的判定定理，只需证明AF⊥PD，CD⊥AF即可；

（Ⅱ）证明∠PBF为直线PB与平面ABF所成的角，求出PF，BF的长，即可得出结论．

(Ⅰ)证明:如图,由是正三角形,为中点,所以,又因为平面平面,

且面面;

又底面为正方形,即

所以平面,而平面,

所以,且,

所以平面.………………6分;

(Ⅱ)由(Ⅰ)证明可知,平面,

所以平面

所以,又由(Ⅰ)知,且,

所以平面,

即为直线与平面所成的角…………………9分

且,易知,中,,

所以,即求.………………12分

点评：解题的关键是正确运用线面垂直的判定，作出线面角.

(1)证明：见解析；(2)SN与平面CMN所成角为45°.

如果已知向量的坐标，求向量的夹角，我们可以分别求出两个向量的坐标，进一步求出两个向量的模及他们的数量积，然后代入公式cosθ得到。

（1）要证明CM⊥SN，我们可要证明 ·＝0即可，根据向量数量积的运算，我们不难证明；

（2）要求SN与平面CMN所成角的大小，我们只要利用求向量夹角的方法，求出SN和方向向量与平面CMN的法向量的夹角，再由它们之间的关系，易求出SN与平面CMN所成角的大小．

解：设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M，N，S.

(1)证明：＝(1，－1，)，＝，因为·＝－＋＋0＝0，

所以CM⊥SN.

(2)＝，设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则，

∴，取x＝2，得a＝(2,1，－2)．因为|cos〈a，〉|＝，

所以SN与平面CMN所成角为45°.

（1）见解析；

（2）

(1)因为，只需证即可.然后证为正三角形.

（2）在（1）的基础上，取AC的中点N，连接A1N，则易证：,

所以,再过M作，垂直为Q,则MQ为点M到平面AA1C1C的距离.

（Ⅰ）∵侧面是菱形，

且，∴为正三角形.

又∵点为的中点，∴,

由已知，∴平面.（4分）

（Ⅱ）作于, 连接,作于，

由已知, 又∵，∴面,

由面, 得,

∵，且, ，∴面,

于是即为所求，                                            （8分）

∵菱形边长为2，易得, , ，

∴.                                           （12分）

(17)（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为 底面是菱形

所以 .                       ………………………………………1分

因为 ，，

所以 平面.                  ………………………………………3分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知.

因为平面平面，平面平面，

平面，

所以 平面.               ………………………………………5分

因为平面，

所以 .                       ……………………………7分

因为 底面是菱形，

所以 .

所以 .                        ………………………………………8分

（Ⅲ）解：不存在. 下面用反证法说明.     ………………………………………9分

假设存在点（异于点）使得∥平面.

在菱形中，∥，

因为平面，平面，

所以∥平面.            

………………………………………11分

因为平面，平面，

，

所以 平面∥平面.

………………………………………13分

而平面与平面相交，矛盾.     ………………………………………14分

略

如图，以点为原点，分别为轴建立

空间直角坐标系，则，，，

设，其中，   …………………………3分

因为平面，

所以，

即，    …………………………6分

化简得，， …………………………8分

故判别式，且，

解得2．

略

（1）证明详见解析（2）

试题分析：（1）由平面可证，由已知条件可得,，所以在平面，然后根据平面与平面垂直的判定定理可得平面⊥平面　.（2） 先求三角形的面积和的值，然后再根据棱锥的体积公式求解即可.

试题解析：(1)证明：平面,平面,,又且点是中点．平面,又平面，

平面⊥平面                6分

(2)由（1）可知，所以AC1与平面A1ABB1所成的角为,在，由,

=      12分

（1）见解析；（2）.

(1)本小题可通过证，和来达到证明直线PD⊥面ABCD的目的。

（2）解决本小题的关键是作出二面角的平面角，取AP中点H，过H作于G，连结DG。则为所求二面角平面角,然后解三角形求角即可。

解：（1）在中，，

即，同理又AD、CD平面ABCD，

直线PD

（2）解法一：

如图,连结AC和BD，设

由（1）知，又，且

PD、BD平面PBD，直线AC平面PBD，

过点O作E为垂足，连结AE，由三垂线定理知

， 为二面角A-PB-D的平面角

AB，所以面ABCD，故ABPD，

从而AB面PAD，故ABPA，

在中，在中，

在中，

二面角A-PB-D的平面角为.

解法二：取AP中点H，过H作于G，连结DG

则为所求二面角平面角，

解法三：利用空间向量

(1) 证明：因为BD∥平面EFGH，平面BDC∩平面EFGH＝FG，所以BD∥FG.

同理BD∥EH，又EH＝FG， 所以四边形EFGH为平行四边形， 所以HG∥EF.

又HG⊄平面ABC，EF⊂平面ABC， 所以HG∥平面ABC.   (6分)

(2) 解：在平面ABC内过点E作EP⊥AC，且交AC于点P，

在平面ACD内过点P作PQ⊥AC，且交AD于点Q，

连结EQ，则EQ即为所求线段．   (10分)

略

（1）答案详见解析；（2）答案详见解析；（3）

试题分析：

（1）常用的证明直线和平面垂直的方法有两种：①证明直线和平面内的两条相交直线垂直；②若两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．本题易证，由平面平面，从而证明平面；（2）证明直线和平面平行的常用方法有两种：①证明直线和平面内的一条直线平行；②若两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面．本题中，连接，交于，连接，易证，故，进而证明∥平面；（3）

选三条两两垂直的三条直线分别作为轴，建立空间直角坐标系，用坐标表示相关点，分别求两个半平面的法向量并求其夹角，然后观察二面角是锐二面角还是钝二面角，从而决定取正或负角．

试题解析：（1）由已知，为的中点，，又因为平面平面，且平面平面=，面，∴平面．

（2）连接，交于，连接，因为底面是菱形，∴，∴∽，,∴,，又，,∴，又平面，平面，∴∥平面．

（3）连结，底面是菱形，且，是等边三角形，由（1）平面..以为坐标原点，分别为轴轴轴建立空间直角坐标系

则.    10分

设平面的法向量为，，注意到∥

，解得是平面的一个法向量  12分

又平面的法向量为，设二面角的大小为，，∴，即二面角二面角的度数为．